Idempotencia

Nem tévesztendő össze a következővel: impotencia.

A matematikában az idempotencia a kétváltozós matematikai műveletek egy tulajdonsága. Idempotensnek nevezzük egy algebrai struktúra valamely elemét a struktúra egy adott kétváltozós műveletére nézve, ha azokban az esetekben, amikor a művelet mindkét operandusa megegyezik az adott elemmel, akkor a művelet eredménye is megegyezik az operandusokkal, azaz a megadott elemmel. Idempotens műveletről beszélünk, ha az adott műveletre nézve a struktúra minden eleme idempotens.

Gyűrűk esetén az idempotenciát mindig a gyűrű szorzás műveletére nézve vizsgáljuk.

Definíció

Legyen ${\displaystyle (A;\cdot )}$ tetszőleges grupoid. Ha valamely ${\displaystyle a\in A}$ elemre teljesül, hogy ${\displaystyle a\cdot a=a}$, akkor azt mondjuk, hogy az ${\displaystyle a\in A}$ idempotens elem az ${\displaystyle (A;\cdot )}$ grupoidban. Ha minden ${\displaystyle a\in A}$ elemre teljesül, hogy ${\displaystyle a\cdot a=a}$, akkor azt mondjuk, hogy a ${\displaystyle \cdot }$ művelet idempotens az ${\displaystyle (A;\cdot )}$ grupoidban.

Tulajdonságok

• Gyűrű minden olyan idempotens eleme, amely nem nulla és nem egység, zérusosztó.
• Bármely ${\displaystyle (A;\cdot )}$ félcsoport tetszőleges ${\displaystyle a\in A}$ idempotens elemére akkor és csak akkor teljesül a bal oldali egyszerűsítési szabály, ha ${\displaystyle a}$ balegységelem.

Példák

• Az egyesítés és metszetképzés bármely, halmazokból álló alaphalmazon értelmezve idempotens.
• Tetszőleges háló metszet és egyesítés műveletei is idempotensek

Idempotens leképezések

Ha a definícióban szereplő ${\displaystyle (A;\cdot )}$ grupoid egy tetszőleges ${\displaystyle H}$ halmaz leképezéseiből áll (a művelet pedig a leképezések szokásos kompozíciója), akkor ${\displaystyle A}$ elemeit idempotens leképezésnek nevezzük. Egy ${\displaystyle f\in A}$ (azaz ${\displaystyle f:H\rightarrow H}$) leképezés tehát akkor idempotens, ha ${\displaystyle f(f(x))=f(x)}$ minden ${\displaystyle x\in H}$-ra. Triviális példa az idempotens leképezésre minden konstans függvény, valamint a minden elemet helyben hagyó identitásfüggvény is, de közismert idempotens leképezés a komplex vagy valós számokon értelmezett abszolútérték-függvény is.

Informatikai jelentése

Az informatikában gyakran idempotensnek nevezünk egy műveletet, ha ugyanazt az eredményt adja egyszer, illetve többször alkalmazva. Ilyen például a HTTP Get kérés (a Post-tal szemben).

Kapcsolódó szócikkek

• Műveleti tulajdonságok

Hivatkozások

• Rédei, László, Algebra I. kötet, Akadémiai Kiadó, Bp (1954)
• Szendrei, Ágnes, Diszkrét matematika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1994)