Közönséges differenciálegyenlet

A közönséges differenciálegyenlet (KDE, angolul ODE) olyan differenciálegyenlet, amely egy egyváltozós differenciálható függvényre van felírva.

Egy olyan F(x, y, y′, y″, y‴, ..., y⁽ⁿ⁾) = 0 függvényegyenlet,^[1] ahol az F függvény argumentumában az x független változó mellett egy ismeretlen y(x) függvény deriváltjai is megjelennek. A megoldásokat az olyan y(x) függvények jelentik, amelyeknél F minden x-re nullát vesz fel.

Gyakran használják dinamikus jelenségek modellezésekor, amikor is a független változó a t-vel jelölt idő.

Csoportosításuk

Rend szerint

• n-edrendűnek nevezzük a differenciálegyenletet, ha a benne szereplő magasabbrendű deriváltak között az n-edik a legnagyobb. Példák:

${\displaystyle y'(x)=\mathrm {sh} (x)+y^{2}(x)\,}$ elsőrendű,

${\displaystyle y''(x)+y^{3}(x)y'(x)=\mathrm {tg} (x)\,}$ másodrendű,

${\displaystyle y^{(4)}+7y=0\,}$ negyedrendű.

Függvénytípus szerint

Bővebben: Lineáris differenciálegyenlet

• Lineáris egy differenciálegyenlet, ha y (az ismeretlen függvény) és deriváltjai legfeljebb az első hatványon szerepelnek, és nem szerepel az egyenletben ilyen tényezők szorzata. Példák:

${\displaystyle \sin(x)y'(x)+x^{2}y(x)+{\sqrt {x}}=0\,}$ elsőrendű lineáris,

${\displaystyle e^{x}y''(x)+(x^{4}-x)y'(x)-{\frac {x+1}{x^{3}}}y(x)+\cos(x)=0\,}$ másodrendű lineáris.

Ezen belül lehet homogén vagy inhomogén, illetve lehet állandó együtthatójú vagy nem állandó együtthatójú.

○ Homogén lineáris differenciálegyenlet (függő változóban homogén), ha lineáris, de nincs benne sem kizárólag az x-től függő, sem konstans tag. Példák:

${\displaystyle \sin(x)y'(x)-e^{x}y(x)=0\,}$ elsőrendű homogén lineáris,

${\displaystyle x^{3}y''(x)+{\frac {1}{x}}y(x)=0\,}$ másodrendű homogén lineáris.

○ Inhomogén lineáris differenciálegyenlet, ha van benne konstans, vagy x-től függő tag. Példák:

${\displaystyle \sin(x)y'(x)-e^{x}y(x)=\mathrm {tg} (x)\,}$ elsőrendű inhomogén lineáris,

${\displaystyle x^{3}y''(x)+{\frac {1}{x}}y(x)=x^{2}+5\,}$ másodrendű inhomogén lineáris.

○ Állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet, ha az egyenletben y-nak és összes deriváltjának az együtthatója konstans. Példák:

${\displaystyle 3y'-7y=0\,}$ elsőrendű állandó együtthatós homogén lineáris (ez a legegyszerűbb típus),

${\displaystyle 9y''(x)+4y'(x)=5x^{12}\,}$ másodrendű állandó együtthatós inhomogén lineáris.

• Nemlineáris, ha nem lineáris. Példák:

${\displaystyle \mathrm {ctg} (x)y''(x)+x^{2}y(x)y'(x)=8\,}$,

${\displaystyle y''(x)=e^{\cos(xy^{2}(x))y(x)}\,}$.

Néhány specialitás

Bernoulli-féle differenciálegyenlet

Bővebben: Bernoulli-féle differenciálegyenlet

A Bernoulli-féle differenciálegyenlet

${\displaystyle y'+p(x)y=r(x)y^{n}\,}$

alakú, ahol n ismert természetes szám (n ≠ 0, 1), p(x) és r(x) ismert függvények.

Ez egy közönséges egyismeretlenes elsőrendű nemlineáris differenciálegyenlet.

Riccati-féle differenciálegyenlet

Bővebben: Riccati-féle differenciálegyenlet

A Riccati-féle differenciálegyenlet

${\displaystyle y'+p(x)y=r(x)y^{2}+h(x)\,}$

alakú, ahol p(x), r(x) és h(x) ismert függvények.

Ez egy közönséges egyismeretlenes elsőrendű, legfeljebb másodfokú differenciálegyenlet. Speciális esetei a lineáris és a Bernoulli-féle differenciálegyenletek.

Euler-féle lineáris másodrendű differenciálegyenlet

Bővebben: Euler-féle differenciálegyenlet

Az Euler-féle lineáris másodrendű differenciálegyenlet egyismeretlenes másodrendű közönséges differenciálegyenlet-típus:

${\displaystyle x^{2}y''+a_{1}xy'+a_{2}y=r(x)\,}$,

ahol r(x) ismert függvény, ${\displaystyle a_{1}}$ és ${\displaystyle a_{2}}$ pedig ismert állandók.

Megoldásuk

A megoldást szokás a differenciálegyenlet integráljának is nevezni.^[2] Analitikusan a megoldás lehet általános vagy partikuláris, illetve reguláris vagy szinguláris. Alkalmazásokban gyakran numerikusan megoldásokat keresnek, például a Runge–Kutta-módszerrel.

Irodalom

• Scharnitzky Viktor: Differenciálegyenletek (Műszaki, 1997) Bolyai-sorozat, 4. kiadás. ISBN 963 16 1216 3

Jegyzetek

Külső hivatkozások

• Közönséges differenciálegyenletek PDF – Szegedi Tudományegyetem, Fizikus Tanszékcsoport