Kombináció

A kombináció a kombinatorika egyik gyakran használt fogalma. Egy halmaz elemeinek ismétlés nélküli kombinációi a halmaz részhalmazai. A részhalmazok helyett multihalmazokat tekintve jutunk az ismétléses kombinációkhoz. Halmazokról illetve multihalmazokról lévén szó, a kiválasztott elemek sorrendjét nem vesszük figyelembe.

Ismétlés nélküli kombinációk

Mind a ${\displaystyle k}$ elem különböző. Az így képzett ${\displaystyle k}$ elemű halmazok az ${\displaystyle n}$ elem ${\displaystyle k}$-adosztályú kombinációi. Ezen kombinációk számát ${\displaystyle C_{n}^{k}}$ szimbólummal jelöljük. Belátható, hogy

${\displaystyle C_{n}^{k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}$

Ugyanis az ${\displaystyle {\frac {n!}{(n-k)!}}}$ képlet adja n elem k-adosztályú variációinak számát. A nevezőben lévő k! pedig, mivel itt a sorrend nem számít, elosztja a lehetőségek számát a k elem permutációinak számával.

A képletet szokás az ${\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}$ szimbólummal is jelölni, melyet „n alatt a k”-nak olvassuk.

Ismétléses kombinációk

A kiválasztott ${\displaystyle k}$ elem nem feltétlenül különböző. Az így képzett multihalmazok, az ${\displaystyle n}$ elem ${\displaystyle k}$-adosztályú ismétléses kombinációi. Számukat ${\displaystyle C_{n}^{k,i}}$-val jelöljük, ahol belátható:

${\displaystyle C_{n}^{k,i}={{n+k-1} \choose k}}$.

Alkalmazások

Az ismétlés nélküli kombinációk számát, azaz a ${\displaystyle C_{n}^{k}}$ értékeket hívják binomiális együtthatóknak is a binomiális tétel miatt. Különböző matematikai szoftverekben emiatt jellemzően a binomial nevű kétváltozós függvény adja vissza a ${\displaystyle C_{n}^{k}}$ értéket. Például a Maple-ben vagy MuPAD-ban így:

binomial(n,k)

A MATLAB rendszerben az nchoosek beépített függvény használható a binomiális együtthatók számítására.

Lásd még

• kombinatorika
• variáció
• permutáció
• Pascal-háromszög

Ez a matematikai tárgyú lap egyelőre csonk (erősen hiányos). Segíts te is, hogy igazi szócikk lehessen belőle!