Liouville-tétel (komplex analízis)

A komplex függvénytanban Liouville tétele azt állítja, hogy ha egy egészfüggvény korlátos, akkor konstans. A tételt Joseph Liouville után nevezték el. Ez azt jelenti, hogy ha f az egész síkon holomorf, és van hozzá pozitív M, hogy akkor ${\displaystyle |f(z)|\leq M}$ minden ${\displaystyle z}$ számra ${\displaystyle \mathbb {C} }$-ben. Ekvivalensen, a teljes ${\displaystyle z}$ in ${\displaystyle \mathbb {C} }$-n nem konstans holomorf függvények képe sűrű.

A tétel erősítése a Picard-tétel, ami szerint egy egészfüggvény legfeljebb egy értéket hagy ki.

Liouville tételével az algebra alaptétele röviden belátható.

Liouville tételének egyik következménye, hogy lényegében különböző egészfüggvények nem dominálják egymást. Azaz, ha f és g egészfüggvények, és |f| ≤ |g| mindenütt, akkor f = α·g valamely α komplex számra.

Abban az esetben, ha g=0, akkor a tétel triviális, tehát feltehető, hogy g${\displaystyle \neq }$0. Legyen most h = f/g, ekkor elég belátni, hogy h kiterjeszthető egészfüggvénnyé, amiből az eredmény Liouville tételével következik. A h függvény nyilván holomorf, kivéve a g⁻¹(0) helyeken. De mivel h korlátos és g szingularitásai izoláltak, azért a szingularitások eltávolíthatók. Ezért h kiterjeszthető korlátos egészfüggvénnyé, ami Liouville tétele szerint konstans.

Feltesszük, hogy f egészfüggvény, és van egy alkalmas M pozitív valós szám, hogy |f(z)| kisebb, vagy egyenlő, mint M|z|. A Cauchy-integrálképlettel

${\displaystyle |f'(z)|={\frac {1}{2\pi }}\left|\oint _{C_{r}}{\frac {f(\zeta )}{(\zeta -z)^{2}}}d\zeta \right|\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {\left|f(\zeta )\right|}{\left|(\zeta -z)^{2}\right|}}\left|d\zeta \right|\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {M\left|\zeta \right|}{\left|(\zeta -z)^{2}\right|}}\left|d\zeta \right|={\frac {MI}{2\pi }}}$

ahol I a maradék integrál értéke. Ez azt mutatja, hogy f' korlátos egészfüggvény, tehát konstans. Az integrál megmutatja, hogy f affin. Az eredeti állítás miatt a konstans tag nulla.

Következik az is, hogy nem konstans elliptikus függvények nem definiálhatók teljes C-n. Tegyük fel, hogy f egy teljes C-n definiált elliptikus függvény, és periódusai a és b úgy, hogy ^a⁄_b nem valós. Legyen most P az a paralelogramma, aminek csúcsai 0, a, b és a + b. Ekkor f értékkészlete éppen f(P). Mivel f folytonos, és P kompakt, azért ez is kompakt, így korlátos. Liouville tétele miatt f konstans.

Az elliptikus függvényekre vonatkozó állítást Liouville bizonyította 1847-ben.^[1] Valójában Cauchytól származik egy korábbi bizonyítás 1844-ből.^[2][3]

Ha f nem konstans egészfüggvény, akkor képe sűrű C-ben. Ez Liouville tételének egy egyszerűen megkapható erősítése.

Ha f képe nem sűrű, akkor van egy w komplex szám, és egy r pozitív valós szám, hogy a w közepű, r sugarú körben nincs értéke f-nek. LÉegyen a g függvény olyan, hogy

g(z) = 1/(f(z) − w).

Ekkor g korlátos, mivel

${\displaystyle (\forall z\in \mathbb {C} ):|g(z)|={\frac {1}{|f(z)-w|}}<{\frac {1}{r}}\cdot }$

Ezért g konstans, tehát f is konstans.

Kompakt Riemann-felületeken a holomorf függvények konstansok.^[4]

Legyen ${\displaystyle f(z)}$ holomorf a teljes ${\displaystyle M}$ Riemann-felületen! Kompaktság miatt van egy ${\displaystyle \,p_{0}\in M}$ pont, ahol ${\displaystyle |f(p)|}$ felveszi maximumát. Ekkor választunk térképet ${\displaystyle p_{0}}$ egy környezetéről a ${\displaystyle \mathbb {D} }$ egységlemezre, ezzel ${\displaystyle f(\phi ^{-1}(z))}$ holomorf az egységlemezen, és maximumát a ${\displaystyle \phi (p_{0})\in \mathbb {D} }$ pontban veszi fel. Ezért a maximumelv miatt konstans.

A tétel bizonyítása azt használja fel, hogy a holomorf függvények analitikusak. Ha f egészfüggvény, akkor a 0 körül Taylor-sorba fejthető:

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}}$

amiből a Cauchy-integrálképlettel

${\displaystyle a_{k}={\frac {f^{(k)}(0)}{k!}}={1 \over 2\pi i}\oint _{C_{r}}{\frac {f(\zeta )}{\zeta ^{k+1}}}\,d\zeta }$

és C_r a 0 körüli r > 0 sugarú kör. Feltéve, hogy f korlátos, van egy M konstans, hogy |f(z)| ≤ M minden z komplex számra. Ekkor az együtthatók becsülhetők, mint:

${\displaystyle |a_{k}|\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {|f(\zeta )|}{|\zeta |^{k+1}}}\,|d\zeta |\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {M}{r^{k+1}}}\,|d\zeta |={\frac {M}{2\pi r^{k+1}}}\oint _{C_{r}}|d\zeta |={\frac {M}{2\pi r^{k+1}}}2\pi r={\frac {M}{r^{k}}},}$

A második egyenlőtlenségben felhasználtuk, hogy |z|=r a körön. De r akármilyen pozitív szám lehet. Ha r-rel a végtelenbe tartunk (tarthatunk is, mert f egészfüggvény), akkor a_k = 0 minden k ≥ 1 esetén. Tehát f(z) = a₀, amivel a tételt bebizonyítottuk.

Legyen C ∪ {∞} a C egypontos kompaktifikációja! A C-ben definiált régiók helyett vehetők a C ∪ {∞} régiói. A C ⊂ C ∪ {∞} halmazon definiált egészfüggvényeknek csak a ∞-ben lehet szingularitása. Ha egy egészfüggvény ∞ egy környezetében korlátos, akkor ∞ megszüntethető szingularitás, f nem robban vagy viselkedik kaotikusan a ∞ egy környezetében, f konstans. Ez nem meglepő Liouville tételének ismeretében.

Hasonlóan, ha a holomorf függvénynek pólusa van a ∞-ben, akkor polinom. Ekkor úgy robban fel a ∞ egy környezetében, mint zⁿ. Még pontosabban, ha elég nagy z esetén |f(z)| ≤ M.|zⁿ|, akkor f legfeljebb n-edfokú polinom.

Ugyanisf-et Taylor-sorba fejtve

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}.}$

Cauchy becslése alapján

${\displaystyle (\forall k\in \mathbb {N} ):|a_{k}|\leqslant Mr^{n-k}.}$

Így, ha k > n,

${\displaystyle |a_{k}|\leqslant \lim _{r\rightarrow +\infty }Mr^{n-k}=0.}$

Tehát a_k = 0.

Liouville tétele nem érvényes a hasított komplex számokra és a duális számokra.^[5]

• Mittag-Leffler-tétel

Ez a szócikk részben vagy egészben a Liouville's theorem (complex analysis) című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.