Mértani közép

A mértani közép a matematikában a középértékek egyike. Két nemnegatív szám mértani (geometriai) középarányosa egyenlő a két szám szorzatának négyzetgyökével. Hasonlóan, több nemnegatív szám mértani közepe a számok szorzatának annyiadik gyöke, ahány számot vettünk. Jele általában G (az angol "geometric" (mértani) szó kezdőbetűje) vagy M (mint mértani).

Általános definíció

Az ${\displaystyle a_{1},\,a_{2},\,a_{3},\,...,\,a_{n}}$ nem negatív számok G mértani közepe:

${\displaystyle G={\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot a_{2}\cdot a_{3}\cdot ...\cdot a_{n}}},\qquad a_{n}\in \mathbb {R} _{0}^{+},\quad n\in \mathbb {Z^{+}} }$

Adott ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in \mathbb {R} _{0}^{+}}$ nemnegatív valós számok mértani középértéke nem lehet kisebb, mint a számok legkisebbike, és nem lehet nagyobb, mint a számok legnagyobbika:

${\displaystyle \min(a_{i})\leq G(a_{1};...;a_{n})\leq \max(a_{i})}$

Súlyozott mértani közép

Ha ${\displaystyle a_{1},\,a_{2},\,\,...,\,a_{n}}$ nemnegatív számok, ${\displaystyle p_{1},\,p_{2},\,\,...,\,p_{n}}$ pedig olyan nemnegatív számok amikre

${\displaystyle p_{1}+\cdots +p_{n}=1}$

teljesül, akkor a számok (${\displaystyle p_{1},\dots ,p_{n}}$súlyokkal súlyozott) súlyozott mértani közepe az

${\displaystyle a_{1}^{p_{1}}\cdots a_{n}^{p_{n}}}$

szám.

A közönséges definíció ennek speciális esete, amikor

${\displaystyle p_{1}=\cdots =p_{n}={\frac {1}{n}}.}$

Geometriai interpretáció

Az ${\displaystyle a}$ és ${\displaystyle b}$ számok mértani közepe az a szám, ami annak a négyzetnek az oldalhosszúsága, aminek területe egyenlő az ${\displaystyle a}$ és ${\displaystyle b}$ oldalú téglalap területével.

Ez meg is szerkeszthető a Pitagorasz-tétel és a magasságtétel alapján:

Egy egyenes szakaszra felmérjük az ${\displaystyle a}$ és ${\displaystyle b}$ hosszú szakaszokat. Felezzük meg az ${\displaystyle a+b}$ szakaszhosszt, és húzzunk egy félkörívet a felezőpont körül ${\displaystyle {\frac {a+b}{2}}}$ sugárral (Thalész-kör). Állítsunk merőlegest abban a pontban, ami az a és a b szakasz határpontja. A körív és a merőleges által kimetszett szakasz hossza a keresett mértani közép.

Három szám, ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ és ${\displaystyle c}$ mértani közepe az a szám, ami annak a kockának az oldalhosszúsága, aminek térfogata egyenlő az ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ és ${\displaystyle c}$ oldalú téglatest térfogatával. Hasonlók igazak több számra és magasabb dimenziós hiperkockákra.

Tulajdonságai

Komplex számokra nem szokás kiterjeszteni, mivel a komplex gyökvonás nem egyértelmű.

A mértani közép nem kisebb, mint a legkisebb adott szám, és nem nagyobb a legnagyobbnál.

Ha az egyik szám nulla, akkor a mértani közép is nulla.

Amennyiben a sorozat összes tagja pozitív, mértani sorozatban – az elsőt kivéve – bármelyik tag a két szomszédjának mértani közepe. Általában ${\displaystyle a_{n}}$ tag az ${\displaystyle a_{n-k}}$ és ${\displaystyle a_{n+k}}$ tagok mértani közepe, ha ${\displaystyle n>k}$ pozitív egészek.

Kapcsolat a számtani középpel és a logaritmussal

Ha egymással nem egyenlő adatokat úgy változtatunk, hogy megmaradjon a számtani közepük, akkor mértani közepük mindig csökken.^[1]

A mértani és a számtani közép egyenlőtlensége:

Bővebben: Számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség

${\displaystyle x_{\mathrm {G} }\leq x_{\mathrm {A} }}$

Ezzel ekvivalens állítás:

${\displaystyle \log {\bar {x}}_{\mathrm {geom} }={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\log x_{i},}$

Másként kifejezve:

Ha ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}>0}$

${\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{n}a_{i}\right)^{\frac {1}{n}}=\exp \left[{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln a_{i}\right]}$

ha pedig van ${\displaystyle \exists a_{j}<0}$ akkor

${\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{n}a_{i}\right)^{\frac {1}{n}}=\left(-1\right)^{\frac {m}{n}}\exp \left[{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln |a_{i}|\right]}$

Ahol m is a negatív számok száma.

Ezt néha log-középnek nevezik, ami nem tévesztendő össze a logaritmikus középpel. Ez azt jelenti, hogy vesszük a logaritmusokat, kiszámoljuk a számtani közepüket, majd ennek vesszük az exponenciálisát, az eredeti számok mértani közepét kapjuk. Egyes programozási nyelvek előnyben részesítik ennek az implementációját, mert így elkerülhető az alul- és a túlcsordulás is.

Kapcsolat a számtani és a harmonikus középpel

Fennáll még az összefüggés:

${\displaystyle x_{\mathrm {G} }={\sqrt {x_{\mathrm {A} }\cdot x_{\mathrm {H} }}}}$

A mértani közép számtani-harmonikus közép is, ami azt jelenti, hogy ha definiáljuk az ${\displaystyle a_{n}}$ és ${\displaystyle h_{n}}$ sorozatokat, mint:

${\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+h_{n}}{2}},\quad a_{0}=x}$

és

${\displaystyle h_{n+1}={\frac {2}{{\frac {1}{a_{n}}}+{\frac {1}{h_{n}}}}},\quad h_{0}=y}$

ahol ${\displaystyle h_{n+1}}$ a két sorozat előző értékeinmek harmonikus közepe, akkor ${\displaystyle a_{n}}$ és ${\displaystyle h_{n}}$ tart az ${\displaystyle x}$ és ${\displaystyle y}$ mértani közepéhez.

A Bolzano–Weierstrass-tétel biztosítja, hogy a két sorozat határértéke megegyezzen, és emellett az is belátható, hogy a mértani közép megmarad:

${\displaystyle {\sqrt {a_{i}h_{i}}}={\sqrt {\frac {a_{i}+h_{i}}{\frac {a_{i}+h_{i}}{h_{i}a_{i}}}}}={\sqrt {\frac {a_{i}+h_{i}}{{\frac {1}{a_{i}}}+{\frac {1}{h_{i}}}}}}={\sqrt {a_{i+1}h_{i+1}}}}$

Konstans idejű számítások

Ha a mértani közepet arra használják, hogy megbecsüljék az átlagos növekedési ütemet, és a kezdőérték ${\displaystyle a_{0}}$, és ismert még az ${\displaystyle a_{n}}$ érték, akkor a mértani közép becsülhető úgy, mint

${\displaystyle \left({\frac {a_{n}}{a_{0}}}\right)^{\frac {1}{n}},}$

A becslés annyira jó, amennyire az ${\displaystyle a_{n}}$ sorozat mértani.

A szomszédos elemek hányadosa ${\displaystyle a_{k+1}/a_{k}}$, ezek mértani közepe :${\displaystyle \left({\frac {a_{1}}{a_{0}}}{\frac {a_{2}}{a_{1}}}\cdots {\frac {a_{n}}{a_{n-1}}}\right)^{\frac {1}{n}}=\left({\frac {a_{n}}{a_{0}}}\right)^{\frac {1}{n}}}$

Normalizálási tulajdonság

A mértani középre jellemző, hogy:

${\displaystyle {\mathit {GM}}\left({\frac {X_{i}}{Y_{i}}}\right)={\frac {{\mathit {GM}}(X_{i})}{{\mathit {GM}}(Y_{i})}}}$

ami a többi középre csak speciális esetben teljesül. Emiatt a mértani közép használható normalizált mennyiségek átlagolására, míg más közepek nem.^[2] Például, ha számítógépek sebességét hasonlítják össze, vagy heterogén adatforrásokból származó mennyiségeket átlagolnak, például várható élettartam, képzettség, csecsemőkori halálozás. Ekkor a számtani és a harmonikus közép, de más közepek is attól függően változnak, hogy mihez viszonyítunk. Például különböző programok végrehajtási ideje:

	A számítógép	B számítógép	C számítógép
Első program	1	10	20
Második program	1000	100	20
Számtani közép	500,5	55	20
Mértani közép	31,622...	31,622...	20
Harmonikus közép	1,998...	18,182...	20

A számtani és a mértani közép szerint a C számítógép a leggyorsabb. De ha normalizáljuk az értékeket, akkor a számtani közép bármelyik gépet mutathatja leggyorsabbnak. Például A eredményeire normalizálva kapjuk, hogy A a leggyorsabb:

	A számítógép	B számítógép	C számítógép
Első program	1	10	20
Második program	1	0,1	0.02
Számtani közép	1	5,05	10,01
Mértani közép	1	1	0,632...
Harmonikus közép	1	0,198...	0,039...

B eredményeire normalizálva kapjuk, hogy a számtani közép szerint B a leggyorsabb, de a harmonikus közép szerint A a leggyorsabb:

	A számítógép	B számítógép	C számítógép
Első program	0,1	1	2
Második program	10	1	0,2
Számtani közép	5,05	1	1.1
Mértani közép	1	1	0,632
Harmonikus közép	0,198...	1	0,363...

C-re skálázva a számtani közép szerint a C, a harmonikus közép szerint az A a leggyorsabb:

	A számítógép	B számítógép	C számítógép
Első program	0,05	0,5	1
Második program	50	5	1
Számtani közép	25,025	2,75	1
Mértani közép	1,581...	1,581...	1
Harmonikus közép	0,099...	0,909...	1

A mértani közép mindhárom esetben ugyanazt a sorrendet adja.

Azonban a mértani közép használatának korrektsége megkérdőjelezhető,^[3] ugyanis attól, hogy a normalizálás nem hat a mértani középpel számított sorrendre, nem jelenti azt, hogy korrekt. Általában súlyozzák a programokat, a számtani középpel kiszámítják az átlagos futási eredményt, majd ezt normalizálják. A fenti táblázatok egyszerűen különbözőképpen súlyozzák a programokat, ezért adnak különböző eredményt a számtani és a harmonikus közepekre. Az első egyenlő súlyt ad a két programnak; a másodikban 1/1000 a második program súlya az elsőhöz képest, a harmadikban 1/100 a második és 1/10 az első program súlya. A fő ellenérv az, hogy a mértani közép számításában időket szorzunk össze, aminek nincs fizikai jelentése. Nem úgy, mint a számtani közép esetén, ahol az összidőt kell kiszámítani. Az idővel fordítottan arányos mennyiségeket inkább harmonikus középpel átlagolják.

Alkalmazása

A mértani közepet multiplikatív – magyarul összeszorozható – mennyiségek átlagolására használhatjuk (például infláció, banki kamatok, amortizáció).

Arányos növekedés

A mértani közép alkalmasabb az arányos növekedés leírására, mint a számtani; akár exponenciális növekedés esetén, akár változó arányú növekedés esetén. Így számítják például a compound annual growth rate (CAGR) mennyiséget. Egy időszakra az átlagos növekedési sebességet adja meg, amivel ugyanannyi kezdőtőkéből ugyanazt a végösszeget lehet nyerni exponenciális növekedéssel.

Tegyük fel, hogy egy narancsfa az első évben 100, az azt követő években rendre 180, 210 és 300 narancsot terem. Ez megfelel 80%, 16,6666% és 42,8571%-os növekedésnek. A számtani közép szerint az átlagos növekedés 46,5079%. De ha 100 naranccsal kezdünk, és minden évben 46,5079%-kal növeljük a termést, akkor a végén 314 narancsot kapunk, ami nem egyezik a végeredménnyel.

Ha a mértani középpel számolunk, akkor a 80%-os növekedés megfelel az 1,80-nal való szorzásnak. Hasonlóan a többi tényező 1,166666 és 1,428571, ezek mértani közepe ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{1.80\times 1.166666\times 1.428571}}=1.442249}$. Az átlagos növekedés évi 44,2249%. Azaz 100 naranccsal kezdve ezzel a növekedéssel a végeredmény 300 narancs, ahogy kell.

A mértani közepet több pénzügyi index számítására is használták, éppen e tulajdonsága miatt; például az FT 30 index számításához a múltban és az Európai Unióban és az Egyesült Királyságban használt „RPIJ” kiszámításához az infáció mérésére. Ezzel az indexek mozgása jobban mérhető, mint számtani középpel.^[4]

Társadalomtudományok

A United Nations Human Development Indexet 2010 óta mértani középpel számolják, mivel jobban tükrözi a különböző dimenziójú statisztikák összehasonlítását. Így például a születéskor várható élettartam 1%-os csökkentése ugyanúgy csökkenti 1%-kal a HDI-it, mint a jövedelem vagy a képzettség ugyanekkora csökkenése. A számtani középhez képest jobban figyelembe veszi az eltérést az átlagtól.^[5] Jegyezzük meg, hogy mivel az adatok között vannak olyanok, amiket nem a fenti módon normalizáltak, hanem statisztikailag végezték a normalizálást, azaz:

${\displaystyle (X-X_{\min })/(X_{\mathrm {norm} }-X_{\min })}$.

Emiatt a mértani közép kevésbé természetes választás, mint a fenti esetben.

Képarány

A mértani közepet kompromisszumos képarányként használják filmeken és videókon, mivel ezzel mindkettő ugyanannyit torzul, vagy ugyanakkora terület lesz levágva belőlük. Ha a két arányt képviselő egyenlő területű téglalapot egymásra helyezünk párhuzamos oldalakkal és közös középponttal, akkor a metszet téglalap és a legkisebb befoglaló téglalap oldalarányai is a két téglalap oldalarányainak mértani közepét adják.

Az SMPTE által választott 16/9 közelítőleg a 2,35 és a 4:3 képarányokat egyensúlyozza, mivel azok mértani közepe ${\displaystyle {\sqrt {2,35\times {\frac {4}{3}}}}\approx 1,7701}$, és ${\displaystyle 16:9=1.77{\overline {7}}}$. Ezt Kerns Powers a fent leírt módon találta meg kivágott és egymásra helyezett téglalapokkal.^[6] A képarányok közül a két szélsőérték a meghatározó, a többi akár ott se lett volna.

A 16:9 és a 4:3 közötti képarány kompromisszumaként a 14:9 képarányt (${\displaystyle 1.55{\overline {5}}}$...) használják,.^[7] ami a kettő számtani közepe. A mértani közép ${\displaystyle {\sqrt {{\frac {16}{9}}\times {\frac {4}{3}}}}\approx 1,5396\approx 13,8:9,}$ de ez már annyira közel van, hogy alig vehető észre (kisebb, mint 2%).

Más geometriai jelentések

A mértani közepet több nyelven geometriai középnek nevezik, geometriai jelentősége miatt.

• Derékszögű háromszögben az átfogóhoz tartozó magasságvonal hossza az átfogó két szeletének mértani közepe. Ez a magasságtétel.
• Ellipszisben a fél kistengely mértani közepe az ellipszis és az egyik fókusz távolságának. Hasonlóan, a fél nagytengely és a semi-latus rectum mértani közepe is. A fél nagytengely mértani közepe a diretrix és az egyik fókusz, illetve az egyik fókusz és a középpont távolságának.
• Egy gömb horizontjának távolsága a gömb legközelebbi és legtávolabbi pontjától mért távolságának mértani közepe.
• S.A. Ramanujan (1914) mindkét közelítése a kör négyszögesítésére mértani közepet használ.
• A tizenhétszög egyik szerkesztésében (T. P. Stowell, 1818) is megjelenik a mértani közép.

Visszaverődés elleni védelem

A fényvisszaverődés minimalizálása érdekében az n₀ és n₂ törésmutatójú anyagok határán úgy kell kialakítani a bevonatot, hogy annak törésmutatója n₁ a mértani közép legyen: ${\displaystyle n_{1}={\sqrt {n_{0}n_{2}}}}$.

Jelfeldolgozás

A jelfeldolgozásban a mértani közepet használják a spektrum alakjának mérésére, vagyis arra, hogy mennyire lapos a spektrum. A hatványspektrum mértani közepét annak számtani közepére emelik.

Lásd még

• Számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség
• Befogótétel
• Magasságtétel

Jegyzetek

Források

• Weisstein, Eric W.: Mértani közép (angol nyelven). Wolfram MathWorld
• Két szám mértani közepének kiszámítása és összehasonlítása a számtani közepükkel

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Geometric mean című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.