Matematikai közepek

Ehhez a szócikkhez további forrásmegjelölések, lábjegyzetek szükségesek az ellenőrizhetőség érdekében. Emiatt nem tudjuk közvetlenül ellenőrizni, hogy a szócikkben szereplő állítások helytállóak-e. Segíts a szócikk fejlesztésében további megbízható források hozzáadásával.

Ezt a szócikket némileg át kellene dolgozni a wiki jelölőnyelv szabályainak figyelembevételével, hogy megfeleljen a Wikipédia alapvető stilisztikai és formai követelményeinek.

A matematikában négy nevezetes középértéket különböztetünk meg: a harmonikus közép, a mértani közép, a számtani közép és a négyzetes közép. Az ezek közötti összefüggés: ${\displaystyle H(a_{1};...;a_{n})\leq M(a_{1};...;a_{n})\leq A(a_{1};...;a_{n})\leq N(a_{1};...;a_{n})}$ Természetesen létezik k-adik hatványközép, azaz bárhányadik hatványú közép. A számtani, harmonikus, és négyzetes közép is felfogható hatványközépként, rendre első, mínusz egyedik, és második.

A harmonikus közép

Harmonikus középértéken a számok reciprokaiból számított számtani közép reciprokát értjük. A harmonikus közepet általában ${\displaystyle \,H}$ betűvel jelöljük.

${\displaystyle H(a_{1};...;a_{n})={\frac {1}{\frac {{\frac {1}{a_{1}}}+...+{\frac {1}{a_{n}}}}{n}}}={\frac {n}{{\frac {1}{a_{1}}}+...+{\frac {1}{a_{n}}}}}}$

A mértani közép

Mértani vagy geometriai középértéken ${\displaystyle \,n}$ szám szorzatának n-ed fokú gyökét értjük. Általában ${\displaystyle \,G}$-vel vagy ${\displaystyle \,M}$-mel jelöljük.

${\displaystyle G(a_{1};...;a_{n})={\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot a_{2}\cdot a_{3}\cdot ...\cdot a_{n}}}}$

A számtani közép

Számtani vagy aritmetikai középértéken ${\displaystyle \,n}$ darab szám átlagát, azaz a számok összegének ${\displaystyle \,n}$-ed részét értjük. A számtani közepet általában ${\displaystyle \,A}$ betűvel jelöljük:

${\displaystyle A(a_{1};...;a_{n})={\frac {a_{1}+...+a_{n}}{n}}}$

A négyzetes közép

Négyzetes középértéken ${\displaystyle \,n}$ darab szám négyzetéből számított számtani közép négyzetgyökét értjük. A jele általában: ${\displaystyle \,N}$.

${\displaystyle N(a_{1};...;a_{n})={\sqrt {{1 \over n}\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}}}={\sqrt {{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}} \over n}}}$

A közepek közötti összefüggések

${\displaystyle H(a_{1};...;a_{n})\leq G(a_{1};...;a_{n})\leq A(a_{1};...;a_{n})\leq N(a_{1};...;a_{n})}$

ahol

${\displaystyle \qquad a_{i}\in \mathbb {R} _{0}^{+},\quad n\in \mathbb {Z^{+}} }$

A közepek közötti összefüggések vizuálisan (trapéz)

A közepek „mértékei” megmutathatóak egy trapézban, ha a trapéz alapjainak középértékeit szeretnénk megmutatni.

Számtani közép

A trapéz szárainak felezőpontjait összekötő szakasz az alapok számtani közepe hosszúságú.
Az ábrán: ${\displaystyle x={a+c \over 2}}$

Bizonyítás

Az ábrán ${\displaystyle p+q=c-a}$ a trapéz tulajdonságai miatt. ${\displaystyle F_{1}I}$ szakasz középvonal ${\displaystyle ADK}$ háromszögben, ezért hossza: ${\displaystyle p \over 2}$, ugyanezért ${\displaystyle JF_{2}={q \over 2}}$. Tehát ${\displaystyle F_{1}F_{2}}$ hossza: ${\displaystyle x=a+{p \over 2}+{q \over 2}=a+{{c-a} \over 2}={a+c \over 2}}$

Harmonikus közép

A trapéz átlóinak metszéspontján átmenő, az alapokkal párhuzamos szakasz hossza az alapok harmonikus közepe hosszúságú.
Az ábrán: ${\displaystyle KL={\frac {1}{\frac {{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{c}}}{2}}}={2ac \over a+c}}$

Bizonyítás

Az ábrán ${\displaystyle ABT}$ hasonló ${\displaystyle CDT}$-hez, mert megfelelő szögeik egyenlő nagyságúak (A T-nél lévő szög csúcsszög, a másik kettő pedig a párhuzamosság miatt). A megfelelő oldalak aránya tehát: ${\displaystyle {a \over c}={p \over q}}$, akkor ${\displaystyle {a+c \over c}={p+q \over q}}$. Az ${\displaystyle ABD}$ háromszögben alkalmazva a párhuzamos szelőszakaszok tételét: ${\displaystyle {x \over a}={q \over p+q}={c \over a+c}}$. Innen: ${\displaystyle x={ac \over a+c}}$. Ezt ${\displaystyle ABC}$-vel is elvégezve adódik: ${\displaystyle KL=x+y={2ac \over a+c}}$.

Négyzetes közép

Ha a trapézt két ugyanakkora területű trapézra vágjuk, akkor annak a szakasznak a hossza, mellyel elvágtuk, a trapézon belül a két alap négyzetes közepe hosszúságú.
Az ábrán: ${\displaystyle x={\sqrt {{a^{2}+c^{2}} \over 2}}}$

Bizonyítás

Az ábra úgy keletkezett, hogy a trapézt zsugorítottuk, pontosabban kivágtunk belőle egy ${\displaystyle a}$ hosszúságú részt. Az ábrán lévő háromszögben felírom az oldalak arányát, melynek négyzete egyenlő a területek arányával, hisz a területek négyzetesen aránylanak egymáshoz. Tehát ${\displaystyle AT_{1}T_{2}}$ és ${\displaystyle ADC}$ háromszögekben az alapok aránya: ${\displaystyle {c-a} \over {x-a}}$. A területek aránya:
${\displaystyle {({{c-a} \over {x-a}})^{2}}={{(c-a)(m_{1}+m_{2})} \over {(x-a)m_{1}}}}$
Vagyis:
${\displaystyle {{c-a} \over {x-a}}={{m_{1}+m_{2}} \over m_{1}}={1+{m_{2} \over m_{1}}}}$
Innen:
${\displaystyle {m_{2} \over m_{1}}={{c-a} \over {x-a}}-1={{c-a} \over {x-a}}-{{x-a} \over {x-a}}={{c-x} \over {x-a}}}$
Megvan a magasságok aránya, írjuk fel a két kisebb trapéz területének arányát is:
${\displaystyle {{m_{1}({{a+x} \over 2})} \over {m_{2}({{x+c} \over 2})}}={{{a+x} \over {x+c}}\cdot {m_{1} \over m_{2}}}={{{a+x} \over {x+c}}\cdot {{x-a} \over {c-x}}}={{x^{2}-a^{2}} \over {c^{2}-x^{2}}}}$
Azt állítjuk, hogy a két terület egyenlő lesz, ez pedig úgy következik be, ha arányuk 1. Ekkor:
${\displaystyle {{x^{2}-a^{2}} \over {c^{2}-x^{2}}}=1}$
${\displaystyle {{x^{2}-a^{2}}={c^{2}-x^{2}}}}$
${\displaystyle {{x^{2}+x^{2}}={a^{2}+c^{2}}}}$
${\displaystyle {2x^{2}={a^{2}+c^{2}}}}$
${\displaystyle {x={\sqrt {{a^{2}+c^{2}} \over 2}}}}$
Vagyis ha a két trapéz területe egyenlő, vagyis két egyenlő területű trapézra vágtuk, akkor a szakasz hossza: ${\displaystyle {x={\sqrt {{a^{2}+c^{2}} \over 2}}}}$.

Mértani közép

Ha a trapézt két hasonló trapézra vágjuk, akkor annak a szakasznak a hossza, mellyel elvágtuk, a trapézon belül a két alap mértani közepe hosszúságú.
Az ábrán: ${\displaystyle x={\sqrt {ac}}}$

Bizonyítás

Két négyszög akkor hasonló, ha megfelelő szögeik egyenlő nagyságúak, valamint a megfelelő oldalainak aránya is megegyezik. Két trapéz akkor hasonló, ha a megfelelő szögeik egyenlőek, valamint az alapjainak és magasságainak aránya megegyezik. Ha ${\displaystyle x={\sqrt {ac}}}$, akkor ${\displaystyle x^{2}=ac}$.
${\displaystyle x\cdot x=a\cdot c}$
${\displaystyle {a \over x}={x \over c}={\sqrt {a \over c}}}$ Tehát a két kisebb trapéz alapjainak aránya ${\displaystyle {\sqrt {ac}}}$. A magasságok aránya: ${\displaystyle {m_{1} \over m_{2}}={{x-a} \over {c-x}}={\sqrt {a \over c}}}$. (x helyébe beírtuk a ${\displaystyle {\sqrt {ac}}}$-t) Tehát a két trapéz alapjainak és magasságainak aránya megegyezik, méghozzá szögeik is egyenlőek a trapéz tulajdonságainak köszönhetően. Ekkor a területek aránya: ${\displaystyle {{m_{1}({{a+x} \over 2})} \over {m_{2}({{x+c} \over 2})}}={{x^{2}-a^{2}} \over {c^{2}-x^{2}}}}$ (az előző bizonyításból). Vagyis ${\displaystyle x^{2}}$ helyébe beírva ${\displaystyle ac}$-t: ${\displaystyle {{ac-a^{2}} \over {c^{2}-ac}}={{a(c-a)} \over {c(c-a)}}={a \over c}}$ Így biztosan kijelenthetjük, hogy ha két hasonló trapézra vágtuk az eredetit, akkor a szakasz hossza ${\displaystyle {\sqrt {ac}}}$.

A közepek közötti összefüggések vizuálisan (kör)

Az ábra magyarázata: ${\displaystyle AC}$ felezőpontja ${\displaystyle O}$, ami az ${\displaystyle AC}$ átmérőjű kör középpontja. ${\displaystyle D}$ az ${\displaystyle O}$-ba állított merőleges és a kör metszéspontja. ${\displaystyle BE}$ a kör érintője, ahol ${\displaystyle E}$ az érintési pont. ${\displaystyle E}$-ből a ${\displaystyle AB}$ egyenesre állított merőleges talppontja ${\displaystyle T}$.
Az ábrán szintén megjelennek a közepek, a következőképp: Ha ${\displaystyle AB}$ szakasz hossza ${\displaystyle a}$, illetve ${\displaystyle BC}$ szakaszé ${\displaystyle b}$, akkor ${\displaystyle BT}$ szakasz hossza ${\displaystyle a}$ és ${\displaystyle b}$ harmonikus közepe, ${\displaystyle BE}$ szakasz hossza ${\displaystyle a}$ és ${\displaystyle b}$ mértani közepe, ${\displaystyle OB}$ szakasz ${\displaystyle a}$ és ${\displaystyle b}$ számtani közepe és ${\displaystyle BD}$ ${\displaystyle a}$ és ${\displaystyle b}$ négyzetes közepe.
${\displaystyle BT={\frac {1}{\frac {{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}}{2}}}={2ab \over a+b}}$
${\displaystyle BE={\sqrt {ab}}}$
${\displaystyle OB={{a+b} \over 2}}$
${\displaystyle BD={\sqrt {{a^{2}+b^{2}} \over 2}}}$

Bizonyítás

• ${\displaystyle BE}$-ről könnyen belátható, hogy ${\displaystyle {\sqrt {ab}}}$ hosszú, hisz a ${\displaystyle B}$ pont körre vonatkoztatott hatványa alapján ${\displaystyle a\cdot b=BE\cdot BE}$. Innen ${\displaystyle BE={\sqrt {ab}}}$.
• ${\displaystyle OB}$ hosszát kiszámíthatjuk az ${\displaystyle OC}$ és ${\displaystyle CB}$ összegeként. ${\displaystyle OB=OC+CB={{a-b} \over 2}+b={{a+b} \over 2}}$
• ${\displaystyle BD}$ hosszát könnyedén kiszámíthatjuk Az ${\displaystyle OBD}$ háromszögben a Pitagorasz-tétel segítségével. ${\displaystyle DB^{2}=OD^{2}+OB^{2}}$, vagyis ${\displaystyle DB={\sqrt {OD^{2}+OB^{2}}}={\sqrt {({{a+b} \over 2})^{2}+({{a-b} \over 2})^{2}}}={\sqrt {{a^{2}+b^{2}} \over 2}}}$
• ${\displaystyle BT}$ hossza a ${\displaystyle BTE}$ háromszögből Befogótétellel kiszámítható. A tétel szerint ${\displaystyle EB={\sqrt {OB\cdot TB}}}$. Innen ${\displaystyle TB={{EB^{2}} \over {OB}}={{ab} \over {{a+b} \over 2}}={{2ab} \over {a+b}}}$

Kapcsolódó szócikkek

• Számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség
• Számtani és négyzetes közép közötti egyenlőtlenség
• Mértani és harmonikus közép közötti egyenlőtlenség

Források

• Definíciók
• Geometriai szemléltetés (kör)