Nemlineáris optika

A nemlineáris optika (NLO) az optika azon területe, ami a fény viselkedését írja le nemlineáris közegben, azaz olyan közegben, amiben a polarizáció nemlineárisan függ a fény elektromos mezejétől. Ez a nemlineárisság általában nagy fényintenzitás esetén figyelhető meg, tipikusan lézer impulzusoknál.

A nemlineáris optika alapjai

Az anyagok elektromos és mágneses tulajdonságait az ${\displaystyle {\vec {E}}-{\vec {D}}}$ és ${\displaystyle {\vec {B}}-{\vec {H}}}$ vektorok közötti kapcsolatok írják le. Ezen kapcsolatok rendkívül változatos módon függnek az anyagi minőségtől. A legtöbb anyag csak akkor mutat elektromos és mágneses tulajdonságokat, ha azt külső mezőbe helyezzük. Kivételt képeznek ez alól a ferroelektromos és ferromágneses anyagok. Az anyagok nagy részénél a dipólusmomentum sűrűség nulla, mivel a ${\displaystyle {\vec {p}}_{n}}$ atomi dipólusmomentumok minden irányba egyforma súllyal mutatnak, így ${\displaystyle \sum _{n}{\vec {p}}_{n}={\vec {0}}}$. Ha viszont az anyagot külső mezőbe helyezzük, a közeg dipólusait saját irányába igyekszik befordítani. Az így keletkező polarizáció az anyag belsejében izotróp esetben arányos az adott helyen fellépő elektromos térerősséggel:

${\displaystyle {\vec {P}}=\epsilon _{0}\chi {\vec {E}}}$

ahol ${\displaystyle \epsilon _{0}}$ a vákuum permittivitása, ${\displaystyle \chi }$ neve pedig elektromos szuszceptibilitás. A fenti esetben mindkettő skalármennyiség. Anizotróp esetben ${\displaystyle \chi }$ leírása egy 3x3-as tenzorral történik, így a polarizáció- és térerősségvektor kapcsolatát magasabb rendű közelítések esetén egy-egy alkalmasan választott tenzor írja le:

${\displaystyle {\vec {P}}=\epsilon _{0}\cdot \left(\chi ^{(1)}+\chi ^{(2)}{\vec {E}}+\chi ^{(3)}{\vec {E}}^{2}+...\right){\vec {E}}}$

ahol ${\displaystyle \chi ^{(1)}=n^{2}-1}$ a lineáris szuszceptibilitás tenzor, ${\displaystyle \chi ^{(2)},\chi ^{(3)},...}$ pedig a másod-, harmad- stb. rendű szuszceptibilitás tenzorok (ezek matematikai rendje eggyel nagyobb az elnevezésben szereplő számnál). A fenti összefüggést röviden a ${\displaystyle {\vec {P}}={\vec {P}}_{L}+{\vec {P}}_{NL}}$ alakban írhatjuk fel. ${\displaystyle {\vec {P}}_{L}}$ a lineáris, ${\displaystyle {\vec {P}}_{NL}}$ pedig a nemlineáris polarizációvektor. Nagy térerősség esetén minden anyag nemlineáris tulajdonságokat mutat.

Nemlineáris hullámegyenlet

Induljunk ki a Maxwell-egyenletek alábbi alakjából, ahol nincsenek jelen töltések (ρ = 0), valamint nem folyik áram (j = 0):

M1: ${\displaystyle \nabla \times {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}}$

M2: ${\displaystyle \nabla {\vec {E}}=0}$

M3: ${\displaystyle \nabla \times {\vec {H}}={\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}}$

M4: ${\displaystyle \nabla {\vec {B}}=0}$

A fentiekben ${\displaystyle {\vec {B}}=\mu {\vec {H}}}$, illetve ${\displaystyle {\vec {D}}=\epsilon _{0}{\vec {E}}+{\vec {P}}_{L}+{\vec {P}}_{NL}=\epsilon _{0}\cdot \left(1+\chi \right){\vec {E}}+{\vec {P}}_{NL}=\epsilon {\vec {E}}+{\vec {P}}_{NL}}$.

M3-at idő szerint deriválva, illetve véve M1 rotációját, a következő összefüggésre jutunk:

(1): ${\displaystyle \nabla \times {\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}=\epsilon {\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}{\vec {P}}_{NL}}{\partial t^{2}}}}$

(2): ${\displaystyle \nabla \times \nabla \times {\vec {E}}=-\mu \nabla \times {\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}}$

Az utóbbi egyenlet és M2 felhasználásával a

(3): ${\displaystyle \nabla \times \nabla \times {\vec {E}}=\nabla (\nabla {\vec {E}})-\Delta {\vec {E}}=-\Delta {\vec {E}}}$

összefüggést kapjuk. Ezek után (1)-et (2)-be írva, felhasználva a (3)-as összefüggést, az alábbi differenciálegyenlet adódik:

${\displaystyle \Delta {\vec {E}}-\mu \epsilon {\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}=\mu {\frac {\partial ^{2}{\vec {P}}_{NL}}{\partial t^{2}}}}$

Felhasználva az ${\displaystyle n={\sqrt {\epsilon _{r}\mu _{r}}}}$ és ${\displaystyle c={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\epsilon _{0}}}}}$ összefüggéseket, az alábbi differenciálegyenlet áll elő:

${\displaystyle \Delta {\vec {E}}-{\frac {n^{2}}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}=\mu {\frac {\partial ^{2}{\vec {P}}_{NL}}{\partial t^{2}}}.}$

A fenti egyenletet nemlineáris hullámegyenletnek nevezzük, azaz a fenti differenciálegyenlet írja le a fény nemlineáris optikai viselkedését.

Az anyagok döntő többségében igaz, hogy ${\displaystyle \mu _{r}\approx 1}$, vagyis ${\displaystyle \mu =\mu _{0}\cdot \mu _{r}=\mu _{0}}$, így nem követünk el nagy hibát, ha a fenti differenciálegyenletet az alábbi alakban tárgyaljuk:

${\displaystyle \Delta {\vec {E}}-{\frac {n^{2}}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}=\mu _{0}{\frac {\partial ^{2}{\vec {P}}_{NL}}{\partial t^{2}}}}$,

Nemlineáris optikai jelenségek

Másodrendű jelenségek

• Összegfrekvencia-keltés

Abban az esetben, ha a közegbe ${\displaystyle \omega _{1}}$ és ${\displaystyle \omega _{2}}$ frekvenciájú fény lép és ${\displaystyle \omega _{3}=\omega _{1}+\omega _{2}}$ frekvenciájú fény keletkezik, összegfrekvencia-keltésről beszélünk. Ennek egy speciális esete az ${\displaystyle \omega _{1}=\omega _{2}}$; ilyenkor másodharmonikus keltésről, vagy frekvenciakétszerezésről beszélünk (a képen a b ábra szemlélteti ezt).

• Különbségfrekvencia-keltés

Különbségfrekvencia-keltésről beszélünk, ha a közegbe ${\displaystyle \omega _{1}}$ és ${\displaystyle \omega _{3}}$ frekvenciájú fény lép be, és egy ${\displaystyle \omega _{2}=\omega _{3}-\omega _{1}}$ frekvenciájú is kilép a másik kettő mellett.

• Optikai parametrikus erősítés (OPA)

Amennyiben különbségfrekvencia-keltésnél az ${\displaystyle \omega _{3}}$ frekvenciakomponensű fény intenzitása számottevően nagyobb ${\displaystyle \omega _{1}}$ frekvenciakomponensűnél, valamint ${\displaystyle \omega _{2}}$ frekvenciakomponensű fény keletkezése mellett ${\displaystyle \omega _{1}}$ intenzitása jelentősen nő, optikai parametrikus erősítésről beszélünk. Ezen elven működő berendezés az optikai parametrikus erősítő (OPA – optical parametric amplifier). Ebben az esetben a legnagyobb intenzitású bemenő komponenst pumpálásnak (pump), az erősített komponenst jelnek (sign), a keletkezőt pedig idler-nek nevezzük. Ezen jelenségen alapul például az optikai parametrikus oszcillátor (OPO) működési elve.

• Optikai parametrikus generálás (OPG)

Abban az esetben, ha a pumpálás elég nagy intenzitású, előfordulhat az az eset is, hogy a jel jelenléte nélkül is lezajlik egy, az előbb említett folyamathoz hasonló jelenség. Ebben az esetben optikai parametrikus generálásról (OPG – optical parametric generator) beszélünk.