Prím zéta-függvény

A matematikában a prím zéta-függvény a Riemann-féle zéta-függvény analogonja. Az alábbi sorral definiálható, ami konvergens minden ${\displaystyle \Re (s)>1}$-re:

${\displaystyle P(s)=\sum _{p\,\in \mathrm {\,primek} }{\frac {1}{p^{s}}}}$.

Tulajdonságok

A Riemann-féle zéta-függvény Euler-szorzata implikálja, hogy:

${\displaystyle \log \zeta (s)=\sum _{n>0}{\frac {P(ns)}{n}}}$

ami Möbius-inverzióval:

${\displaystyle P(s)=\sum _{n>0}\mu (n){\frac {\log \zeta (ns)}{n}}}$

Ha s tart az egyhez, akkor ${\displaystyle P(s)\sim \log \zeta (s)\sim \log \left({\frac {1}{s-1}}\right)}$. Ezt a Dirichlet-sűrűség definíciója használja. Továbbá kiterjeszti P(s)-t a ${\displaystyle \Re (s)>0}$ félsíkra, végtelen sok logaritmikus szingularitással azokban a pontokban, ahol ns pólusa vagy zérushelye ζ(s)-nek. A ${\displaystyle \Re (s)=0}$ az értelmezési tartomány természetes határvonala, mivel majdnem minden pontjában szingularitása van a függvénynek.

Ha definiáljuk a

${\displaystyle a_{n}=\prod _{p^{k}\mid n}{\frac {1}{k}}=\prod _{p^{k}\mid \mid n}{\frac {1}{k!}}}$

sorozatot, akkor

${\displaystyle P(s)=\log \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}.}$

ami Li 2.7-edik lemmájával ekvivalens.

A prím zéta-függvény az Artin-konstanshoz is kapcsolódik:

${\displaystyle \ln C_{\mathrm {Artin} }=-\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(L_{n}-1)P(n)}{n}}}$

ahol L_n az n-edik Lucas-szám.^[1]

Speciális értékei:

s	P(s) közelítő értéke	OEIS
1	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{11}}+\cdots \to \infty .}$
2	${\displaystyle 0{,}45224{\text{ }}74200{\text{ }}41065{\text{ }}49850\ldots }$	A085548
3	${\displaystyle 0{,}17476{\text{ }}26392{\text{ }}99443{\text{ }}53642\ldots }$	A085541
4	${\displaystyle 0{,}07699{\text{ }}31397{\text{ }}64246{\text{ }}84494\ldots }$	A085964
5	${\displaystyle 0{,}03575{\text{ }}50174{\text{ }}83924{\text{ }}25713\ldots }$	A085965
9	${\displaystyle 0{,}00200{\text{ }}44675{\text{ }}74962{\text{ }}45066\ldots }$	A085969

Analízis

Integrál

A prím zéta-függvény integrálját végtelentől számítják, mivel pólusa ${\displaystyle s=1}$-ben nem teszi lehetővé egy kellemes alsó korlát kitűzését már egyes egész értékekre a ág választása és felvágás nélkül:

${\displaystyle \int _{s}^{\infty }P(t)dt=\sum _{p}{\frac {1}{p^{s}\log p}}}$

A fontosabb értékek megint azok, amelyekre az összeg lassan konvergál:

s	${\displaystyle \sum _{p}1/(p^{s}\log p)}$ közelítő értéke	OEIS
1	${\displaystyle 1,63661632\ldots }$	A137245
2	${\displaystyle 0,50778218\ldots }$	A221711
3	${\displaystyle 0,22120334\ldots }$
4	${\displaystyle 0,10266547\ldots }$

Derivált

Az első derivált

${\displaystyle P'(s)\equiv {\frac {d}{ds}}P(s)=-\sum _{p}{\frac {\log p}{p^{s}}}}$

A fontos értékek azok, amikre az integrál lassan konvergál:

s	approximate value ${\displaystyle P'(s)}$	OEIS
2	${\displaystyle -0.493091109\ldots }$	A136271
3	${\displaystyle -0.150757555\ldots }$
4	${\displaystyle -0.060607633\ldots }$
5	${\displaystyle -0.026838601\ldots }$

Általánosításai

A Riemann-féle zéta-függvény az egész számok negatív kitevős hatványainak összege, és a prím zéta-függvény a prímek negatív kitevős hatványainak összege. A kettő közötti átmenetet azok a k-prím zéta-függvények adják, amelyekben azoknak az egészeknek a negatív kitevős hatványai adódnak össze, amiknek k, nem feltétlenül különböző prímosztója van:

${\displaystyle P_{k}(s)\equiv \sum _{n:\Omega (n)=k}{\frac {1}{n^{s}}}}$

ahol ${\displaystyle \Omega }$ a prímtényezők totális összege.

k	s	${\displaystyle P_{k}(s)}$ közelítő értéke	OEIS
2	2	${\displaystyle 0,14076043434\ldots }$	A117543
2	3	${\displaystyle 0,02380603347\ldots }$
3	2	${\displaystyle 0,03851619298\ldots }$	A131653
3	3	${\displaystyle 0,00304936208\ldots }$

A Riemann-féle zéta-függvényben a nevezők osztályozhatók a k index szerint, amivel az előáll, mint a ${\displaystyle P_{k}}$ függvények összege:

${\displaystyle \zeta (s)=1+\sum _{k=1,2,\ldots }P_{k}(s)}$

Ha a függvény előállításához csak azokat a prímeket használják, amelyek egy rögzített prímre egy adott maradékosztályba esnek, akkor további végtelen sozrozatok keletkeznek, amelyek a Dirichlet-féle L-függvény redukciói.

Jegyzetek

Források

• (1881) „The Sums of the Series of Reciprocals of the Prime Numbers and of Their Powers”. Proceedings of the Royal Society 33, 4–10. o. DOI:10.1098/rspl.1881.0063.  
• (1968) „On the prime zeta function”. Nordisk Tidskr. Informationsbehandling (BIT) 8 (3), 187–202. o. DOI:10.1007/BF01933420.  
• Glaisher, J. W. L. (1891). „On the Sums of Inverse Powers of the Prime Numbers”. Quart. J. Math. 25, 347–362. o.  
• Mathar, Richard J. (2008). "Twenty digits of some integrals of the prime zeta function". arXiv:0811.4739.
• (2008) „Prime graphs and exponential composition of species”. J. Combin. Theory A 115, 1374—1401. o. DOI:10.1016/j.jcta.2008.02.008.  
• Mathar, Richard J. (2010). "Table of Dirichlet L-series and prime zeta modulo functions for small moduli". arXiv:1008.2547.

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Prime zeta function című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.