Várható érték

A várható értéket a matematikai statisztikában használjuk. Feladata a mért értékek populációjának jellemzését egyetlen, azt jól közelítő értékkel leírni. Erre szolgál a számtani közép, illetve az alábbiakban ismertetett várható érték. Kiszámítása lehetővé teszi a súlyozott számtani középarányos kiszámítását és értelmezését folytonos értékkészletű változóknál is. Változóként angol eredetiből származtatva az E betűvel jelöljük (Expectation).

Leírása

Az ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbf {P} )}$ valószínűségi mezőn értelmezett ${\displaystyle X}$ valószínűségi változó várható értéke

${\displaystyle \mathbf {E} (X)=\int \limits _{\Omega }X\,\mathrm {d} \mathbf {P} ,}$

amennyiben ez az integrál létezik és véges. Ha nem létezik vagy nem véges, akkor az ${\displaystyle X}$ valószínűségi változónak nincs várható értéke.

Ha ${\displaystyle X}$ eloszlásfüggvénye ${\displaystyle F_{X}}$, akkor a várható értéket felírhatjuk a következő képlettel:

${\displaystyle \mathbf {E} (X)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x\,\mathrm {d} F(x).}$

Az ${\displaystyle X}$ valószínűségi változó várható értékét több módon is szokták jelölni. A szakirodalomban leginkább az alábbi jelölésekkel találkozhatunk:

${\displaystyle \mathbf {E} (X),\;\mathbb {E} (X),\;\mathbf {M} (X).}$

Képlet abszolút folytonos és diszkrét valószínűségi változók várható értékének kiszámítására

Abszolút folytonos és diszkrét valószínűségi változók esetén a fenti képlet konkrétabb, könnyebben számítható formát ölt.

• Ha ${\displaystyle X}$ abszolút folytonos valószínűségi változó (azaz ha van sűrűségfüggvénye, amit most ${\displaystyle f_{X}}$-szel jelölünk), akkor az ${\displaystyle X}$ várható értékét az

${\displaystyle \mathbf {E} (X)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x\cdot f_{X}(x)\,\mathrm {d} x}$

képlet adja meg. Az abszolút folytonos esetben a várható érték pontosan akkor létezik, ha ez az integrál létezik, és véges.

• Ha ${\displaystyle X}$ diszkrét valószínűségi változó, akkor a pozitív valószínűséggel felvett értékek halmaza megszámlálható. Jelölje ezeket az értékeket most ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},\dots }$, a hozzájuk tartozó valószínűségeket pedig rendre ${\displaystyle p_{1},p_{2},\dots ,p_{n},\dots }$, azaz ${\displaystyle \mathbf {P} (X=x_{i})=p_{i}}$, ekkor ${\displaystyle X}$ várható értékét az

${\displaystyle \mathbf {E} (X)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }x_{n}\cdot p_{n}}$

képlet adja meg. A diszkrét esetben a várható érték pontosan akkor létezik, ha ez a sor abszolút konvergens.

A várható érték néhány fontosabb tulajdonsága

• Nem negatív valószínűségi változó várható értéke – amennyiben létezik – szintén nem negatív, azaz, ha ${\displaystyle X\geq 0}$, akkor ${\displaystyle \mathbf {E} (X)\geq 0}$.

• A várható érték lineáris leképezés az azonos valószínűségi mezőn értelmezett valószínűségi változók terén, azaz ha ${\displaystyle X}$ és ${\displaystyle Y}$ azonos valószínűségi mezőn értelmezett valószínűségi változók, akkor bármely ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ esetén

${\displaystyle \mathbf {E} (aX+bY)=a\mathbf {E} (X)+b\mathbf {E} (Y).}$

(Ez lényegében azon a mértékelméleti összefüggésen múlik, hogy a mérték szerinti integrál a mértéktéren értelmezett mérhető függvény lineáris leképezése.)

• Független valószínűségi változók várható értéke multiplikatív, azaz ha ${\displaystyle X}$ és ${\displaystyle Y}$ független valószínűségi változók, akkor

${\displaystyle \mathbf {E} (XY)=\mathbf {E} (X)\mathbf {E} (Y).}$

• Ha ${\displaystyle X}$ abszolút folytonos valószínűségi változó és ${\displaystyle g}$ mérhető függvény, akkor

${\displaystyle \mathbf {E} (g(X))=\int \limits _{\Omega }g(X)\,\mathrm {d} \mathbf {E} =\int \limits _{-\infty }^{\infty }g(x)\,\mathrm {d} F_{X}(x)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }g(x)f_{X}(x)\,dx.}$

Megjegyzések

• Az X valószínűségi változó várható értéke megegyezik az első momentumával. Ilyen tekintetben a momentum tekinthető a várható érték általánosításának.

• A matematikai statisztika megkülönböztet elméleti és tapasztalati várható értéket. Az előbbi egybeesik az ebben a szócikkben bemutatott várható értékkel, míg az utóbbi lényegében a statisztikai mintából számított átlag.

Források

• Bognár J.-né – Mogyoródi J. – Prékopa A. – Rényi A. – Szász D. (2001): Valószínűségszámítási feladatgyűjtemény. Typotex Kiadó, Budapest.
• Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen.
• Medgyessy P. – Takács L. (1973): Valószínűségszámítás. Tankönyvkiadó, Budapest.
• Michelberger P. – Szeidl L. – Várlaki P. (2001): Alkalmazott folyamatstatisztika és idősor-analízis. Typotex Kiadó, Budapest.