Grup dasar

Dalam bidang matematika dan topologi aljabar, grup dasar dari ruang topologi adalah grup kelas kesetaraan di bawah homotopi dengan gelung dalam ruang. Informasi tentang bentuk dasar, atau lubang, dari ruang topologi. Grup dasar adalah grup homotopi yang pertama dan yang sederhana. Grup dasar adalah homotopi invarian dari ruang topologi setara homotopi (atau dalam kasus dari homeomorfik) dengan isomorfik.

Intuisi

Dimulai dari ruang (misalnya, permukaan), dan beberapa titik, dan semua gelung dan titik jalur ke titik awal. Dua gelung dapat digabungkan dengan: gelung pertama ke gelung kedua. Dua gelung setara jika salah satu dapat dideformasi menjadi gelung lainnya tanpa putus. Himpunan gelung dengan metode penggabungan dan ekuivalen di antara grup dasar untuk ruang.

Sejarah

Henri Poincaré mendefinisikan grup dasar pada tahun 1895 dalam makalah "Situs Analisis".^[1] Konsep tersebut muncul dalam teori permukaan Riemann, dalam karya Bernhard Riemann, Poincaré, dan Felix Klein. Sifat monodromi dari fungsi bernilai kompleks, serta klasifikasi permukaan tertutup topologi lengkap.

Definisi

X adalah ruang topologi, contoh tipikal adalah permukaan digambarkan di sebelah kanan. Selain itu, ${\displaystyle x_{0}}$ adalah titik di X yang disebut titik dasar. Gagasan dari definisi grup homotopi adalah untuk mengukur berapa kurva pada X yang dideformasi satu sama lain. Definisi tergantung pada pengertian homotopi gelung, yang akan dijelaskan terlebih dahulu.

Homotopi gelung

Ruang topologi X dari gelung berbasis ${\displaystyle x_{0}}$ didefinisikan sebagai fungsi kontinu (juga dikenal sebagai peta kontinu)

${\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to X}$

sehingga titik awal ${\displaystyle \gamma (0)}$ dan titik akhir ${\displaystyle \gamma (1)}$ adalah ${\displaystyle x_{0}}$.

Homotopi adalah interpolasi kontinu antara dua gelung. Lebih tepatnya, homotopi antara dua gelung ${\displaystyle \gamma ,\gamma '\colon [0,1]\to X}$ (berbasis titik ${\displaystyle x_{0}}$) adalah peta kontinu

${\displaystyle h\colon [0,1]\times [0,1]\to X,}$

maka

• ${\displaystyle h(0,t)=x_{0}}$ untuk ${\displaystyle t\in [0,1],}$ bagian titik awal homotopi adalah ${\displaystyle x_{0}}$ untuk ${\displaystyle t}$ (sebagai parameter waktu).
• ${\displaystyle h(1,t)=x_{0}}$ untuk ${\displaystyle t\in [0,1],}$ bagian titik akhir tetap ${\displaystyle x_{0}}$ untuk ${\displaystyle t}$.
• ${\displaystyle h(r,0)=\gamma (r),h(r,1)=\gamma '(r)}$ untuk ${\displaystyle r\in [0,1]}$.

Jika homotopi h dari ${\displaystyle \gamma }$ dan ${\displaystyle \gamma '}$ adalah homotopik. Relasi "${\displaystyle \gamma }$ adalah homotopik ${\displaystyle \gamma '}$" dengan hubungan setara pada himpunan kelas kesetaraan dengan:

${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0}):=\{{\text{semua gelung }}\gamma {\text{ berdasarkan }}x_{0}\}/{\text{homotopi}}}$.

Himpunan (dengan struktur grup yang dijelaskan di bawah) tersebut adalah grup dasar dari ruang topologi ${\displaystyle X}$ pada titik dasar ${\displaystyle x_{0}}$. Tujuan dari kelas kesetaraan dari gelung hingga homotopi, sebagai lawan dari himpunan gelung (yang disebut ruang gelung dari X) adalah titik akhir, meskipun berguna untuk berbagai tujuan dari objek yang besar dan berat.

Struktur grup

Dengan definisi di atas, ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$ adalah satu himpunan, grup (dan karena grup dasar) menggunakan rangkaian gelung. Lebih tepatnya, dua gelung ${\displaystyle \gamma _{0},\gamma _{1}}$, hasilkali didefinisikan sebagai gelung

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{0}\cdot \gamma _{1}\colon [0,1]&\to X\\(\gamma _{0}\cdot \gamma _{1})(t)&={\begin{cases}\gamma _{0}(2t)&0\leq t\leq {\tfrac {1}{2}}\\\gamma _{1}(2t-1)&{\tfrac {1}{2}}\leq t\leq 1.\end{cases}}\end{aligned}}}$

Dengan demikian, gelung ${\displaystyle \gamma _{0}\cdot \gamma _{1}}$ pertama mengikuti gelung ${\displaystyle \gamma _{0}}$ dengan "dua kali kecepatan" dan kemudian mengikuti ${\displaystyle \gamma _{1}}$ dengan "dua kali kecepatan".

hasilkali dari dua kelas homotopi gelung ${\displaystyle [\gamma _{0}]}$ dan ${\displaystyle [\gamma _{1}]}$ kemudian didefinisikan sebagai ${\displaystyle [\gamma _{0}\cdot \gamma _{1}]}$. Dapat ditunjukkan, hasilkali tidak bergantung pada pilihan perwakilan dan oleh karena itu operasi yang terdefinisi dengan himpunan ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$. Operasi ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$ ke dalam grup elemen netral gelung konstan ${\displaystyle x_{0}}$ untuk t. Invers dari gelung (kelas homotopi) adalah gelung yang sama, tetapi dilintasi dalam oposisi

${\displaystyle \gamma ^{-1}(t):=\gamma (1-t)}$.

Tiga gelung berbasis ${\displaystyle \gamma _{0},\gamma _{1},\gamma _{2},}$ hasilkali

${\displaystyle (\gamma _{0}\cdot \gamma _{1})\cdot \gamma _{2}}$

adalah gabungan dari gelung ${\displaystyle \gamma _{0}}$ sehingga ${\displaystyle \gamma _{1}}$ dengan kecepatan kuadurupel, maka ${\displaystyle \gamma _{2}}$ dengan kecepatan ganda,

${\displaystyle \gamma _{0}\cdot (\gamma _{1}\cdot \gamma _{2})}$

melintasi ke lintasan yang sama (dalam urutan yang sama), tetapi ${\displaystyle \gamma _{0}}$ dengan kecepatan ganda, dan ${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}}$ dengan kecepatan rangkap empat. Jadi, karena perbedaan kecepatan, kedua jalur tersebut tidak identik. Aksioma asosiatif

${\displaystyle [\gamma _{0}]\cdot \left([\gamma _{1}]\cdot [\gamma _{2}]\right)=\left([\gamma _{0}]\cdot [\gamma _{1}]\right)\cdot [\gamma _{2}]}$

oleh karena itu sangat bergantung pada jalur homotopi. Kedua komposit di atas adalah homotopik, misalnya, pada gelung yang melintasi ketiga gelung ${\displaystyle \gamma _{0},\gamma _{1},\gamma _{2}}$ dengan kecepatan tripel. Himpunan gelung berbasis hingga homotopi, digunakan dengan operasi di atas karenanya ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$ ke grup.

Ketergantungan pada titik dasar

Meskipun grup dasar pada umumnya bergantung pada pilihan titik dasar, ternyata hingga isomorfisme (sebenarnya, bahkan hingga isomorfisme dalam), pilihan tidak bedanya dengan ruang X adalah jalan koneksi. Untuk ruang terhubung dengan jalur, banyak penulis menggunakan ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ dari ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$.

Contoh konkret

Bagian ini mencantumkan beberapa contoh dasar dari kelompok dasar. Pertama, ruang Euklides (${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$) atau himpunan bagian cembung dari ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ kelas gelung homotopi dan karena grup dasar adalah grup trivial dengan satu elemen. Maka, domain bintang dan ruang kontras memiliki grup dasar trivial. Dengan demikian, grup dasar tidak membedakan antara ruang.

Bola-2

Ruang koneksi dengan grup dasar trivial disebut koneksi sederhana. Misalnya, bola-2 ${\displaystyle S^{2}=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\}}$ digambarkan di sebelah kanan, dan juga bidang berdimensi tinggi koneksi dengan mudah. Gambar tersebut mengilustrasikan homotopi satu gelung tertentu ke gelung konstan. gelung ${\displaystyle \gamma }$ sehingga ${\displaystyle (x,y,z)\in S^{2}}$ yaitu tidak pada gambar ${\displaystyle \gamma .}$ Namun, karena gelung ${\displaystyle \gamma ([0,1])=S^{2}}$ (dari kurva Peano, misalnya), bukti lengkap analisis cermat dengan alat dari topologi aljabar dengan Teorema Seifert–van Kampen atau Teorema pendekatan seluler.

Lingkaran

Lingkaran (juga dikenal sebagai bola-1)

${\displaystyle S^{1}=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}$

Sebaliknya, kelas homotopi dari gelung lingkaran (positif atau negatif, bergantung pada arah belitan). Hasil kali gelung sekitar m dan gelung sekitar n adalah gelung sekitar ${\displaystyle m+n}$. Oleh karena itu, grup dasar dari lingkaran adalah isomorfik grup aditif dari bilangan bulat ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+),}$. Fakta ini dapat digunakan untuk memberikan pembuktian teorema titik tetap Brouwer^[2] dan teorema Borsuk–Ulam di dimensi 2.^[3]

Gambar delapan

Grup dasar dari gambar delapan adalah grup bebas pada dua huruf. Gagasan untuk membuktikannya adalah sebagai berikut: memilih titik dasar untuk menjadi titik pertemuan kedua lingkaran (bertitik hitam pada gambar di sebelah kanan), buhul ${\displaystyle \gamma }$ diuraikan sebagai

${\displaystyle \gamma =a^{n_{1}}b^{m_{1}}\cdots a^{n_{k}}b^{m_{k}}}$

dimana a dan b adalah dua gelung di sekitar setengah gambar seperti yang digambarkan, dan eksponen ${\displaystyle n_{1},\dots ,n_{k},m_{1},\dots ,m_{k}}$ adalah bilangan bulat. Maka ${\displaystyle \pi _{1}\left(S^{1}\right),}$ grup dasar dari gambar delapan adalah bukan abelian: dua cara a dan b tidak homotopik:

${\displaystyle [a]\cdot [b]\neq [b]\cdot [a]}$.

Secara lebih umum, grup dasar dari lingkaran buket dari lingkaran r adalah grup bebas pada huruf r.

Grup dasar dari jumlah baji dari dua ruang terhubung jalur X dan Y dihitung sebagai hasilkali bebas dari grup dasar:

${\displaystyle \pi _{1}(X\vee Y)\cong \pi _{1}(X)*\pi _{1}(Y)}$.

Dirampat dengan pengamatan diatas karena gambar delapan adalah jumlah irisan dua lingkaran.

Grup dasar dari gambar bidang titik n merupakan grup bebas dengan pembangkit ${\displaystyle n}$. pembangkit ke-${\displaystyle i}$ adalah kelas gelung yang menuju di sekitar lubang ke-${\displaystyle i}$ dengan tampa menuju ke lubang lainnya.

Grafik

Grup dasar didefinisikan untuk struktur diskret. Secara khusus, pertimbangkan graf terhubung ${\displaystyle G(V,E)}$, dengan verteks ${\displaystyle v_{0}}$ dengan ${\displaystyle V}$. Gelung dalam ${\displaystyle G}$ adalah siklus yang dimulai dan diakhiri ${\displaystyle v_{0}}$.^[4] Misalkan ${\displaystyle T}$ menjadi pohon rentangan dari ${\displaystyle G}$. Gelung sederhana ${\displaystyle G}$ tepat satu sisi ${\displaystyle E\setminus T}$; gelung ${\displaystyle G}$ adalah rangkaian gelung sederhana tersebut. Oleh karena itu, grup dasar dari grafik adalah grup bebas, dimana jumlah pembangkit persis dengan jumlah sisi ${\displaystyle E\setminus T}$ .Bilangan sama dengan ${\displaystyle |E|-|V|+1}$.^[5]

Misalnya, ${\displaystyle G}$ memiliki 16 verteks yang disusun dalam 4 baris terdiri dari 4 verteks, dengan sisi yang menghubungkan verteks berdekatan secara horizontal atau vertikal. Maka ${\displaystyle G}$ memiliki 24 sisi secara keseluruhan, dan jumlah sisi pohon rentangan adalah ${\displaystyle 16-1=15}$, jadi grup dasar dari ${\displaystyle G}$ adalah grup bebas dengan 9 pembangkit.^[6] Perhatikan bahwa ${\displaystyle G}$ memiliki 9 "lubang", dengan buket dari 9 lingkaran, memiliki grup dasar yang sama.

Grup buhul

Grup buhul adalah definisi grup dasar dari komplemen dari buhul ${\displaystyle K}$ dengan ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$ Misalnya, grup buhul dari buhul semanggi dikenal sebagai grup kepangan ${\displaystyle B_{3},}$ contoh lain dari grup dasar takabelian. Presentasi Wirtinger secara eksplisit mendeskripsikan grup buhul dalam istilah pembangkit dan relasi berdasarkan diagram buhul. Oleh karena itu, grup buhul memiliki beberapa kegunaan dalam teori buhul untuk membedakan buhul: jika ${\displaystyle \pi _{1}\left(\mathbb {R} ^{3}\setminus K\right)}$ bukan isomorfik untuk beberapa grup buhul ${\displaystyle \pi _{1}\left(\mathbb {R} ^{3}\setminus K'\right)}$ dari buhul lain ${\displaystyle K'}$, maka ${\displaystyle K}$ tidak diubah menjadi ${\displaystyle K'.}$ Jadi buhul semanggi tidak berubah menjadi lingkaran (juga dikenal sebagai buhul trivial), karena buhul terakhir memiliki grup buhul ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. Namun, buhul tidak dideformasi menjadi satu, tetapi memiliki grup buhul isomorfik.

Permukaan berorientasi

Grup dasar dari permukaan orientasi genus n dapat dihitung dalam istilah pembangkit dan relasi sebagai

${\displaystyle \left\langle A_{1},B_{1},\ldots ,A_{n},B_{n}\left|A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}\cdots A_{n}B_{n}A_{n}^{-1}B_{n}^{-1}\right.\right\rangle }$.

Torus menjadi genus 1 grup dasarnya adalah

${\displaystyle \left\langle A_{1},B_{1}\left|A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}\right.\right\rangle \cong \mathbb {Z} ^{2}}$.

Grup topologi

Grup dasar dari grup topologi X (dengan titik dasar sebagai elemen netral) selalu komutatif. Secara khusus, kelompok dasar dari grup Lie adalah komutatif. Maka, struktur grup pada X ke ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ dengan struktur grup: dua gelung ${\displaystyle \gamma }$ dan ${\displaystyle \gamma '}$ dengan ${\displaystyle X}$, gelung ${\displaystyle \gamma \star \gamma '}$ dapat ditentukan dengan menggunakan perkalian grup dalam ${\displaystyle X}$:

${\displaystyle \left(\gamma \star \gamma '\right)(x)=\gamma (x)\cdot \gamma '(x)}$.

Operasi biner ${\displaystyle \star }$ himpunan gelung adalah bebas priori dari yang dijelaskan di atas. Namun, argumen Eckmann–Hilton menunjukkan bahwa sebenarnya setuju dengan rangkaian gelung atas.^[7][8]

Pemeriksaan bukti menunjukkan ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ adalah abelian untuk setiap ruang-H dari ${\displaystyle X}$, yaitu perkalian tidak menggunakan invers takasosiatif. Sebagai contoh, grup dasar dari sebuah ruang lingkaran dari ruang topologi Y, ${\displaystyle X=\Omega (Y),}$ adalah abelian. Ide terkait mengarah pada perhitungan Heinz Hopf dari kohomologi grup Lie.

Kefungtorialan

Jika ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ adalah peta kontinu, ${\displaystyle x_{0}\in X}$ dan ${\displaystyle y_{0}\in Y}$ dengan ${\displaystyle f(x_{0})=y_{0}}$, maka gelung ${\displaystyle X}$ dengan titik dasar ${\displaystyle x_{0}}$ dengan ${\displaystyle f}$ ke gelung ${\displaystyle Y}$ dengan titik dasar ${\displaystyle y_{0}}$. Operasi serasi dengan hubungan kesetaraan homotopi dan dengan komposisi gelung. Homomorfisme kelompok yang dihasilkan, disebut homomorfisme terinduksi, sebagai ${\displaystyle \pi (f)}$ maka:

${\displaystyle f_{*}\colon \pi _{1}(X,x_{0})\to \pi _{1}(Y,y_{0}).}$

Pemetaan dari peta kontinu hingga homomorfisme grup serasi dengan komposisi peta dan morfisme identitas. Dalam kategori teori, pembentukan asosiasi ke ruang topologi grup dasar adalah funktor

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{1}\colon \mathbf {Top} _{*}&\to \mathbf {Grp} \\(X,x_{0})&\mapsto \pi _{1}(X,x_{0})\end{aligned}}}$

dari kategori ruang topologi dengan titik dasar ke kategori grup. Funktor peta homotopik relatif terhadap titik dasar: jika ${\displaystyle f,g\colon X\to Y}$ adalah peta kontinu dengan ${\displaystyle f(x_{0})=g(x_{0})=y_{0}}$, serta ${\displaystyle f}$ dan ${\displaystyle g}$ adalah homotopik ${\displaystyle \{x_{0}\}}$, maka ${\displaystyle f_{*}=g_{*}}$. Sebagai akibatnya, dua ruang terhubung lintasan setara memiliki grup dasar isomorfik:

${\displaystyle X\simeq Y\Rightarrow \pi _{1}(X,x_{0})\cong \pi _{1}(Y,y_{0}).}$

Misalnya, penyertaan lingkaran di bidang citra

${\displaystyle S^{1}\subset \mathbb {R} ^{2}\setminus \{0\}}$

adalah kesetaraan homotopi dan isomorfisme grup dasarnya.

Funktor grup dasar dari hasilkali ke produk dan koproduk ke kohasilkali. Artinya, jika ${\displaystyle X}$ dan ${\displaystyle Y}$ adalah terhubung lintasan, maka

${\displaystyle \pi _{1}(X\times Y,(x_{0},y_{0}))\cong \pi _{1}(X,x_{0})\times \pi _{1}(Y,y_{0}).}$

Lihat pula

• Grup dasar Orbifold

Catatan

Referensi

• Adams, John Frank (1978), Infinite loop spaces, Annals of Mathematics Studies, 90, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08207-3, MR 0505692 
• Brown, Ronald (2006), Topology and Groupoids, Booksurge, ISBN 1-4196-2722-8, diarsipkan dari versi asli tanggal 2016-03-12, diakses tanggal 2021-02-09 
• Bump, Daniel (2013), Lie Groups, Graduate Texts in Mathematics, 225 (edisi ke-2nd), Springer, doi:10.1007/978-1-4614-8024-2, ISBN 978-1-4614-8023-5 
• Crowell, Richard H.; Fox, Ralph (1963), Introduction to Knot Theory, Springer 
• El Zein, Fouad; Suciu, Alexander I.; Tosun, Meral; Uludağ, Muhammed; Yuzvinsky, Sergey (2010), Arrangements, Local Systems and Singularities: CIMPA Summer School, Galatasaray University, Istanbul, 2007, ISBN 978-3-0346-0208-2 
• Forster, Otto (1981), Lectures on Riemann Surfaces, ISBN 0-387-90617-7 
• Fulton, William (1995), Algebraic Topology: A First Course, Springer, ISBN 9780387943275 
• Goerss, Paul G.; Jardine, John F. (1999), Simplicial Homotopy Theory, Progress in Mathematics, 174, Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-6064-1 
• Grothendieck, Alexandre; Raynaud, Michèle (2003) [1971], Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1960-61 - Revêtements étales et groupe fondamental - (SGA 1) (Documents Mathématiques 3), Paris: Société Mathématique de France, hlm. xviii+327, see Exp. V, IX, X., arXiv:math.AG/0206203 , ISBN 978-2-85629-141-2 
• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, 222 (edisi ke-2nd), Springer, ISBN 978-3319134666 
• Hatcher, Allen (2002), Algebraic Topology, Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0, diarsipkan dari versi asli tanggal 2012-02-06, diakses tanggal 2021-02-09 
• Peter Hilton and Shaun Wylie, Homology Theory, Cambridge University Press (1967) [warning: these authors use contrahomology for cohomology]
• Humphreys, James E. (2004), Linear Algebraic Groups, Graduate Texts in Mathematics (21), Springer, ISBN 9780387901084 
• Humphreys, James E. (1972), Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, ISBN 0-387-90052-7 
• Maunder, C. R. F. (January 1996), Algebraic Topology, Dover Publications, ISBN 0-486-69131-4 
• Massey, William S. (1991), A Basic Course in Algebraic Topology, Springer, ISBN 038797430X 
• May, J. Peter (1999), A Concise Course in Algebraic Topology, ISBN 9780226511832 
• Deane Montgomery and Leo Zippin, Topological Transformation Groups, Interscience Publishers (1955)
• Munkres, James R. (2000), Topology, Prentice Hall, ISBN 0-13-181629-2 
• Rotman, Joseph (1998-07-22), An Introduction to Algebraic Topology, Springer-Verlag, ISBN 0-387-96678-1 
• Rubei, Elena (2014), Algebraic Geometry, a concise dictionary, Berlin/Boston: Walter De Gruyter, ISBN 978-3-11-031622-3 
• Seifert, Herbert; Threlfall, William (1980), A Textbook of Topology, diterjemahkan oleh Heil, Wolfgang, Academic Press, ISBN 0-12-634850-2 
• Singer, Isadore. M.; Thorpe, J. A. (1976-12-10), Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry, ISBN 0-387-90202-3 
• Spanier, Edwin H. (1989), Algebraic Topology, Springer, ISBN 0-387-94426-5 
• Strom, Jeffrey (2011), Modern Classical Homotopy Theory, AMS, ISBN 9780821852866 

Pranala luar

• Weisstein, Eric W. "Fundamental group". MathWorld. 
• Dylan G.L. Allegretti, Simplicial Sets and van Kampen's Theorem Diarsipkan 2021-03-03 di Wayback Machine.: A discussion of the dasar groupoid of a topological space and the dasar groupoid of a simplicial set
• Animations to introduce dasar group by Nicolas Delanoue
• Sets of base points and dasar groupoids: mathoverflow discussion Diarsipkan 2023-08-09 di Wayback Machine.
• Groupoids in Mathematics Diarsipkan 2016-03-05 di Wayback Machine.