Selisih dua bilangan kuadrat

Dalam matematika, selisih dua bilangan kuadrat atau pengurangan dua bilangan kuadrat adalah sebuah bilangan kuadrat yang dikurangi dengan bilangan kuadrat lain. Dalam aljabar elementer, setiap selisih dua bilangan kuadrat dapat difaktorkan berdasarkan identitas berikut. $${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}$$

Rumus selisih dari dua bilangan kuadrat dapat dibuktikan secara lugas. Dengan menerapkan sifat distributif pada ekspresi ${\displaystyle (a+b)(a-b)}$ di ruas kanan, maka didapatkan $${\displaystyle (a+b)(a-b)=a^{2}+ba-ab-b^{2}}$$ Berdasarkan sifat komutatif, maka diperoleh ${\displaystyle ab=ba}$. Akibatnya, dua suku yang berada di tengah-tengah ekspresi di atas (yaitu ${\displaystyle ba-ab}$) akan sama dengan ${\displaystyle 0}$, sehingga ekspresi di atas dapat disederhanakan menjadi $${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b)(a-b)&=a^{2}+\underbrace {ba-ab} _{0}-b^{2}\\&=a^{2}+0-b^{2}\\&=a^{2}-b^{2}\end{aligned}}}$$ Identitas ini merupakan salah satu indentitas yang paling sering digunakan dalam matematika. Dari sekian banyak penggunaannya, identitas ini memberikan bukti sederhana dari ketaksamaan AM–GM untuk kasus dua variabel.

Bukti ini berlaku untuk sembarang gelanggang komutatif.

Sebaliknya, jika identitas ini berlaku pada suatu gelanggang ${\displaystyle R}$ untuk sembarang ${\displaystyle a,\,b\in R}$, maka ${\displaystyle R}$ merupakan gelanggang komutatif. Untuk membuktikan hal ini, maka menurut sifat distributif (pada ruas kanan), berlaku $${\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}-b^{2}&=(a+b)(a-b)\\a^{2}-b^{2}&=a^{2}+ba-ab-b^{2}\\0&=ba-ab\\ab&=ba\end{aligned}}}$$ untuk setiap elemen ${\displaystyle a,\,b\in R}$, sehingga terbukti bahwa ${\displaystyle R}$ merupakan gelanggang komutatif.

Selisih dua bilangan kuadrat juga dapat diilustrasikan secara geometris sebagai selisih luas dua persegi pada suatu bidang. Berdasarkan diagram di sebelah kanan, daerah yang diarsir merupakan selisih dari luas dua bangun persegi, yaitu ${\displaystyle a^{2}-b^{2}}$. Di sisi lain, daerah yang diarsir juga dapat dicari luasnya dengan menjumlahkan luas dari dua bangun persegi panjang, yaitu ${\displaystyle a(a-b)+b(a-b)}$, yang dapat difaktorkan menjadi ${\displaystyle (a+b)(a-b)}$. Akibatnya, diperoleh identitas ${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}$.

Selain bukti di atas, terdapat cara lain untuk membuktikan selisih dua bilangan kuadrat melalui pendekatan geometris, yang dapat dilihat pada gambar berikut.

Rumus selisih dua bilangan kuadrat dapat digunakan untuk memfaktorkan polinomial yang memuat kuadrat dari suatu kuantitas dikurangi kuadrat dari kuantitas lain. Sebagai contoh, polinomial ${\displaystyle x^{4}-1}$ dapat difaktorkan sebagai berikut : $${\displaystyle {\begin{aligned}x^{4}-1&=\left(x^{2}\right)^{\!2}-\left(1\right)^{2}\\&=\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}-1\right)\\&=\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}-1^{2}\right)\\&=\left(x^{2}+1\right)\left(x+1\right)\left(x-1\right)\end{aligned}}}$$ Contoh lainnya adalah polinomial dua variabel ${\displaystyle x^{2}+x-y^{2}-y}$. Dalam kasus ini, perhatikan bahwa $${\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}+x-y^{2}-y&=x^{2}-y^{2}+x-y\\&=(x+y)(x-y)+1\cdot (x-y)\\&=(x+y+1)(x-y)\end{aligned}}}$$ Lebih lanjut, rumus ini dapat digunakan untuk menyederhanakan ekspresi matematis, salah satunya $${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\color {blue}a+b}\right)^{2}-\left({\color {red}a-b}\right)^{2}&=\left({\color {blue}a+b}+{\color {red}a-b}\right)\left({\color {blue}a+b}-({\color {red}a-b})\right)\\&=\left(2a\right)\left(2b\right)\\&=4ab\end{aligned}}}$$

Selisih dari dua bilangan kuadrat dapat digunakan untuk mencari faktor linear dari hasil penjumlahan dua bilangan kuadrat, menggunakan koefisien bilangan kompleks.

Misalnya, akar-akar kompleks dari ${\displaystyle f(z)=z^{2}+9}$ dapat dicari dengan $${\displaystyle {\begin{aligned}z^{2}+9&=z^{2}-\left(-9\right)\\&=z^{2}-\left(9i^{2}\right)&{\text{sebab }}i^{2}=-1\\&=z^{2}-\left(3i\right)^{2}\\&=\left(z+3i\right)\left(z-3i\right)\end{aligned}}}$$ sehingga faktor linearnya ialah ${\displaystyle \left(z+3i\right)}$ dan ${\displaystyle \left(z-3i\right)}$. Oleh karena kedua faktor yang diperoleh dengan metode ini bersifat saling konjugat, maka rumus ini dapat digunakan sebagai metode untuk mengalikan suatu bilangan kompleks agar hasilnya merupakan bilangan riil. Hal ini seringkali dilakukan untuk mendapatkan penyebut bernilai riil pada pecahan bilangan kompleks.^[1]

Selisih dua bilangan kuadrat juga dapat digunakan dalam merasionalkan pecahan dengan penyebut irasional.^[2] Rumus ini adalah metode untuk menghilangkan (atau setidaknya memindahkan) akar bilangan dari operasi pembagian yang memuat akar kuadrat. Sebagai contoh, bagian penyebut dari ${\displaystyle {\dfrac {5}{2+{\sqrt {7}}}}}$ dapat dirasionalkan sebagai berikut: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\dfrac {5}{2+{\sqrt {7}}}}&={\dfrac {5}{{\sqrt {7}}+2}}\times 1\\&={\dfrac {5}{{\sqrt {7}}+2}}\times {\dfrac {{\sqrt {7}}-2}{{\sqrt {7}}-2}}\\&={\dfrac {5\left({\sqrt {7}}-2\right)}{\left({\sqrt {7}}+2\right)\!\left({\sqrt {7}}-2\right)}}\\&={\dfrac {5\left({\sqrt {7}}-2\right)}{\left({\sqrt {7}}\right)^{\!2}-2^{2}}}\\&={\dfrac {5\left({\sqrt {7}}-2\right)}{7-4}}\\&={\dfrac {5\left({\sqrt {7}}-2\right)}{3}}\end{aligned}}}$$ Dalam contoh di atas, bagian penyebut ${\displaystyle 2+{\sqrt {7}}}$ yang irasional telah dirasionalkan menjadi ${\displaystyle 3}$

Selisih dua bilangan kuadrat juga dapat digunakan sebagai jalan pintas aritmetika. Jika dua bilangan (yang rata-ratanya merupakan bilangan yang dapat dengan mudah dikuadratkan) dikalikan, maka selisih dua bilangan kuadrat dapat digunakan untuk mencari hasil perkalian dari dua bilangan tadi. Misalnya, hasil dari ${\displaystyle 56\times 64}$ dapat dicari melalui cara berikut: $${\displaystyle {\begin{aligned}56\times 64&=\left(60-4\right)\left(60+4\right)\\&=60^{2}-4^{2}\\&=3600-16\\&=3584\end{aligned}}}$$

Selisih dari dua kuadrat sempurna beruntun adalah hasil pemjumlahan dua bilangan pokoknya, yaitu ${\displaystyle n}$ dan ${\displaystyle n+1}$. Hal ini dapat terlihat sebagai berikut $${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\color {blue}n+1}\right)^{2}-\left({\color {red}n}\right)^{2}&=\left({\color {blue}n+1}+{\color {red}n}\right)\left({\color {blue}n+1}-{\color {red}n}\right)\\&=\left({\color {blue}n+1}+{\color {red}n}\right)\cdot 1\\&={\color {blue}n+1}+{\color {red}n}\end{aligned}}}$$ Akibatnya, selisih dari dua bilangan kuadrat beruntun merupakan bilangan ganjil. Dengaan cara serupa, maka selisih dari sembarang dua kuadrat sempurna ialah $${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\color {blue}n+k}\right)^{2}-\left({\color {red}n}\right)^{2}&=\left({\color {blue}n+k}+{\color {red}n}\right)\left({\color {blue}n+k}-{\color {red}n}\right)\\&=\left(2n+k\right)\cdot k\end{aligned}}}$$ yang menunjukkan bahwa selisih dua kuadrat sempurna genap merupakan kelipatan 4 dan selisih dari dua kuadrat sempurna ganjil merupakan kelipatan 8.

Salah satu akibat dari selisih dari dua bilangan kuadrat, hukum bilangan ganjil Galileo menyatakan bahwa jika suatu benda jatuh dalam gravitasi yang seragam tanpa gaya gesek dalam selang waktu yang sama secara beruntun, maka jarak yang ditempuh oleh benda tersebut berbanding lurus dengan bilangan ganjil. Dengan kata lain, jika sebuah benda terjatuh dari posisi diam dan menempuh jarak tertentu selama selang waktu tertentu, maka benda tersebut akan menempuh jarak 3, 5, 7, (dst.) kali lipat jarak tersebut dalam selang waktu berikutnya (dengan durasi yang sama).

Menurut persamaan untuk percepatan linier seragam, jarak yang ditempuh ialah $${\displaystyle s=vt+{\dfrac {1}{2}}at^{2}}$$ Saat kecepatan awal ${\displaystyle v=0}$, percepatan ${\displaystyle a}$ bernilai konstan (percepatan akibat gravitasi tanpa gaya gesek udara), dan durasi ${\displaystyle t}$, maka jarak tempuh ${\displaystyle s}$ berbanding lurus dengan ${\displaystyle t^{2}}$ (secara simbolis, maka ${\displaystyle s\propto t^{2}}$), sehingga jarak tempuh dari titik awal merupakan kuadrat sempurna beruntun saat durasinya merupakan bilangan bulat^[3]

Beberapa algoritma dalam teori bilangan dan kriptografi menggunakan selisih dari dua bilangan kuadrat untuk mencari faktor dari bilangan bulat dan mendeteksi bilangan komposit. Salah satu contoh sederhananya ialah metode pemfaktoran Fermat. Untuk sembarang bilangan asli ${\displaystyle N}$, maka dikonstruksikan dua barisan berikut: $${\displaystyle a_{i}=\left\lceil {\sqrt {N}}{\phantom {.}}\right\rceil +i\qquad {\text{dan}}\qquad x_{i}=\left(a_{i}\right)^{2}-N}$$ Jika nilai ${\displaystyle x_{i}}$ merupakan sebuah bilangan kuadrat sempurna ${\displaystyle b^{2}}$, maka ${\displaystyle N=\left(a_{i}\right)^{2}-b^{2}=\left(a_{i}+b\right)\left(a_{i}-b\right)}$ merupakan faktorisasi (tak trivial) dari ${\displaystyle N}$.

Identitas ini juga berlaku pada ruang hasil-kali dalam atas lapangan bilangan riil, seperti darab bintik pada vektor Euklides, yaitu $${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {a}}-{\vec {b}}\cdot {\vec {b}}=\left({\vec {a}}+{\vec {b}}\right)\cdot \left({\vec {a}}-{\vec {b}}\right)}$$ Proses pembuktiannya kurang lebih serupa. Untuk kasus khusus saat ${\displaystyle {\vec {a}}}$ dan ${\displaystyle {\vec {b}}}$ memiliki norma yang sama (yang berarti bintik kuadrat keduanya bernilai sama), maka hal ini sejalan secara analitik dengan fakta bahwa kedua diagonal dari Belah ketupat bersifat saling tegak lurus. Untuk membuktikan hal ini, maka perhatikan bahwa $${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|{\vec {a}}\right\|&=\left\|{\vec {b}}\right\|\\\left\|{\vec {a}}\right\|^{2}&=\left\|{\vec {b}}\right\|^{2}\\\left\|{\vec {a}}\right\|^{2}-\left\|{\vec {b}}\right\|^{2}&=0\\{\vec {a}}\cdot {\vec {a}}-{\vec {b}}\cdot {\vec {b}}&=0\\\left({\vec {a}}+{\vec {b}}\right)\cdot \left({\vec {a}}-{\vec {b}}\right)&=0\end{aligned}}}$$ Oleh karena hasil-kali dalam antara penjumlahan vektor ${\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}}$ (diagonal panjang dari belah ketupatnya) dan selisih vektor ${\displaystyle {\vec {a}}-{\vec {b}}}$ (diagonal pendek dari belah ketupatnya) bernilai nol, maka keduanya saling tegak lurus.

Jika ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$ adalah dua elemen pada gelanggang komutatif ${\displaystyle R}$, maka $${\displaystyle {\begin{aligned}a^{n}-b^{n}&=\left(a-b\right)\left(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+\,\ldots \,+ab^{n-2}+b^{n-1}\right)\\&=\left(a-b\right)\left(\sum _{k\,=\,0}^{n-1}a^{n-1-k}b^{k}\right)\end{aligned}}}$$ untuk sembarang ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.

Secara historis, orang-orang Babilonia menggunakan selisih dari dua bilngan kuadrat untuk menghitung perkalian.^[4]

Sebagai contoh: $${\displaystyle {\begin{aligned}93\times 87&=90^{2}-3^{2}=8091\\34\times 46&=40^{2}-6^{2}=1564\end{aligned}}}$$

1. ^ (Inggris) Bilangan kompleks TheMathPage.com, retrieved 22 December 2011
2. ^ (Inggris) Mengalikan akar TheMathPage.com, retrieved 22 December 2011
3. ^ (Inggris) RP Olenick et al., The Mechanical Universe: Introduction to Mechanics and Heat
4. ^ "Babylonian mathematics" (dalam bahasa Inggris). 

• Stanton, James Stuart (2005). Encyclopedia of Mathematics [Ensiklopedia Matematika] (dalam bahasa Inggris). Infobase Publishing. hlm. 131. ISBN 0-8160-5124-0. 
• Tussy, Alan S.; Gustafson, Roy David (2011). Elementary Algebra [Aljabar Elementer] (dalam bahasa Inggris) (edisi ke-5th). Cengage Learning. hlm. 467–469. ISBN 978-1-111-56766-8. 

• (Inggris) Selisih dua bilangan kuadrat pada mathpages.com