Teori kategori

Teori kategori berhubungan dengan struktur matematika dan hubungan antar struktur tersebut secara abstrak. Saat ini kategori digunakan dalam matematika, informatika teori, dan fisika matematis. Kategori diperkenalkan pertama kali oleh Samuel Eilenberg dan Saunders Mac Lane pada tahun 1942-1945, dalam hubungannya dengan topologi aljabar.

Definisi Kategori

Suatu kategori ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ terdiri atas:

• Suatu kelas Obj(${\displaystyle {\mathcal {C}}}$) yang berisi objek dari kategori tersebut
• Untuk sebarang ${\displaystyle A,B\in }$ Obj(${\displaystyle {\mathcal {C}}}$) terdapat suatu himpunan morfisma Hom(${\displaystyle A,B}$) yang berisi morfisma atau panah dari objek ${\displaystyle A}$ ke objek ${\displaystyle B}$ dengan sifat:
  • Komposisi Morfisma. Kita bisa menggabungkan dua morfisma ${\displaystyle f}$ dan ${\displaystyle g}$, jika himpunan target dari morfisma pertama sama dengan himpunan sumber dari morfisma kedua, misal ${\displaystyle f:A\rightarrow B}$ dan ${\displaystyle g:B\rightarrow C}$ untuk suatu objek ${\displaystyle A,B,}$ dan ${\displaystyle C}$. Komposisi biasanya dilambangkan dengan ${\displaystyle g\circ f}$ yang berarti morfisma ${\displaystyle f}$ dilanjut oleh morfisma ${\displaystyle g}$ (dibaca dari kanan).
  • Morfisma Identitas. Untuk setiap ${\displaystyle A\in }$ Obj(${\displaystyle {\mathcal {C}}}$), terdapat morfisma identitas ${\displaystyle 1_{A}:A\rightarrow A}$ yang untuk sebarang morfisma ${\displaystyle f\in }$ Hom(${\displaystyle A,B}$) memenuhi ${\displaystyle f1_{A}=f}$ dan ${\displaystyle 1_{B}f=f}$

Suatu kategori ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ dikatakan sebagai kategori kecil jika Obj(${\displaystyle {\mathcal {C}}}$) adalah suatu himpunan.

Contoh Kategori

Dari pendefinisian kategori, terasa alami untuk mendefinisikan suatu kategori SET dengan Obj(SET) adalah kelas yang berisi semua himpunan dan untuk sebarang himpunan ${\displaystyle A,B\in }$ Obj(SET) kita punyai Hom(${\displaystyle A,B}$) fungsi dari himpunan ${\displaystyle A}$ ke himpunan ${\displaystyle B}$. Perhatikan bahwa kategori SET bukanlah sebuah kategori kecil dikarenakan koleksi dari seluruh himpunan bukanlah suatu himpunan (untuk menghindari paradoks Russel)

Beberapa contoh lain dari kategori diberikan pada tabel berikut

Konstruksi Kategori Baru dari Kategori yang Ada

Sebarang kategori ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ dapat dikonstruksi menjadi kategori baru dengan membalik setiap morfismanya tanpa mengubah objeknya. Kategori yang demikian disebut kategori dual dan dinotasikan sebagai ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$^op

Lihat pula

Referensi

Kutipan

Sumber

• Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (2004). Abstract and Concrete Categories. Heldermann Verlag Berlin. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2021-02-24. Diakses tanggal 2020-11-26. 
• Barr, Michael; Wells, Charles (2012) [1995], Category Theory for Computing Science, Reprints in Theory and Applications of Categories, 22 (edisi ke-3rd) .
• Barr, Michael; Wells, Charles (2005), Toposes, Triples and Theories, Reprints in Theory and Applications of Categories, 12, MR 2178101 .
• Borceux, Francis (1994). Handbook of categorical algebra. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Cambridge University Press. hlm. 50–52. ISBN 9780521441780. 
• Freyd, Peter J. (2003) [1964]. Abelian Categories. Reprints in Theory and Applications of Categories. 3. 
• Freyd, Peter J.; Scedrov, Andre (1990). Categories, allegories. North Holland Mathematical Library. 39. North Holland. ISBN 978-0-08-088701-2. 
• Goldblatt, Robert (2006) [1979]. Topoi: The Categorial Analysis of Logic. Studies in logic and the foundations of mathematics. 94. Dover. ISBN 978-0-486-45026-1. 
• Herrlich, Horst; Strecker, George E. (2007). Category Theory (edisi ke-3rd). Heldermann Verlag Berlin. ISBN 978-3-88538-001-6. .
• Kashiwara, Masaki; Schapira, Pierre (2006). Categories and Sheaves. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 332. Springer. ISBN 978-3-540-27949-5. 
• Lawvere, F. William; Rosebrugh, Robert (2003). Sets for Mathematics. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-01060-3. 
• Lawvere, F. William; Schanuel, Stephen Hoel (2009) [1997]. Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories (edisi ke-2nd). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-89485-2. 
• Leinster, Tom (2004). Higher Operads, Higher Categories. Higher Operads. London Math. Society Lecture Note Series. 298. Cambridge University Press. hlm. 448. Bibcode:2004hohc.book.....L. ISBN 978-0-521-53215-0. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2003-10-25. Diakses tanggal 2006-04-03.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
• Leinster, Tom (2014). Basic Category Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 143. Cambridge University Press. arXiv:1612.09375 . ISBN 9781107044241. 
• Lurie, Jacob (2009). Higher Topos Theory. Annals of Mathematics Studies. 170. Princeton University Press. arXiv:math.CT/0608040 . ISBN 978-0-691-14049-0. MR 2522659. 
• Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Graduate Texts in Mathematics. 5 (edisi ke-2nd). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-98403-2. MR 1712872. 
• Mac Lane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1999) [1967]. Algebra (edisi ke-2nd). Chelsea. ISBN 978-0-8218-1646-2. 
• Martini, A.; Ehrig, H.; Nunes, D. (1996). "Elements of basic category theory". Technical Report. 96 (5). 
• May, Peter (1999). A Concise Course in Algebraic Topology. University of Chicago Press. ISBN 978-0-226-51183-2. 
• Mazzola, Guerino (2002). The Topos of Music, Geometric Logic of Concepts, Theory, and Performance. Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-5731-3. 
• Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, ed. (2004). Categorical foundations. Special topics in order, topology, algebra, and sheaf theory. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. 97. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83414-8. Zbl 1034.18001. 
• Pierce, Benjamin C. (1991). Basic Category Theory for Computer Scientists. MIT Press. ISBN 978-0-262-66071-6. 
• Schalk, A.; Simmons, H. (2005). An introduction to Category Theory in four easy movements (PDF). Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2017-03-21. Diakses tanggal 2007-12-03.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan) Notes for a course offered as part of the MSc. in Mathematical Logic, Manchester University.
• Simpson, Carlos (2010). Homotopy theory of higher categories. arXiv:1001.4071 . Bibcode:2010arXiv1001.4071S. , draft of a book.
• Taylor, Paul (1999). Practical Foundations of Mathematics. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 59. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-63107-5. 
• Turi, Daniele (1996–2001). "Category Theory Lecture Notes" (PDF). Diakses tanggal 11 December 2009.  Based on Mac Lane 1998.

Bacaan lebih lanjut

• Marquis, Jean-Pierre (2008). From a Geometrical Point of View: A Study of the History and Philosophy of Category Theory. Springer. ISBN 978-1-4020-9384-5. 

Pranala luar

Wikimedia Commons memiliki media mengenai Category theory.