Topologi operator lemah

Dalam analisis fungsional, topologi operator lemah, sering disingkat TOL, adalah topologi lemah pada himpunan operator terbatas pada ruang Hilbert $H$ , maka fungsi operator $T$ ke bilangan kompleks $\langle Tx,y\rangle$ adalah kontinu untuk vektor suatu $x$ dan $y$ di ruang Hilbert.

Secara eksplisit, untuk operator $T$ ada basis lingkungan dari tipe berikut: jumlah hingga vektor $x_{i}$ , fungsional kontinu $y_{i}$ , dan tetapan riil positif $\varepsilon _{i}$ diindeks oleh himpunan hingga $I$ . Operator $S$ terletak di lingkungan jika dan hanya jika $|y_{i}(T(x_{i})-S(x_{i}))|<\varepsilon _{i}$ untuk $i\in I$ .

Sama halnya, jaring $T_{i}\subset B(H)$ dari operator ke $T\in B(H)$ pada TOL jika untuk $y\in H^{*}$ dan $x\in H$ , jaring $y(T_{i}x)$ menyatu dengan $y(Tx)$ .

Relasi dengan topologi lain di B(H)

TOL adalah di antara semua topologi pada $B(H)$ , operator terikat pada ruang Hilbert $H$ .

Topologi operator kekuatan

Topologi operator kekuatan, atau SOT, di $B(H)$ adalah topologi konvergensi pointwise. Karena produk dalam adalah fungsi kontinu, TOK lebih kuat dari TOL. Contoh berikut menunjukkan bahwa penyertaan ini ketat. Maka $H=\ell ^{2}(\mathbb {N} )$ dan pertimbangkan urutan $\{T^{n}\}$ . Penerapan Cauchy-Schwarz menunjukkan bahwa $T^{n}\to 0$ dalam TOL. Tapi yang jelas $T^{n}$ tidak menyatu dengan $0$ dalam TOK.

Fungsional linier pada himpunan operator yang dibatasi pada ruang Hilbert yang kontinu dalam topologi operator yang kuat adalah kontinu TOK (sebenarnya, TOL adalah topologi operator lemah semua fungsi linear kontinu pada himpunan $B(H)$ dari operator yang dibatasi pada ruang Hilbert H). Karena fakta ini, penutupan sebuah himpunan konveks dari operator di TOK sama dengan penutupan himpunan tersebut di TOL.

dari identitas polarisasi maka $\{T_{\alpha }\}$ dengan $0$ pada TOL jika dan hanya jika $T_{\alpha }^{*}T_{\alpha }\to 0$ dalam TOK.

Topologi bintang operator lemah

Predual dari B(H) adalah kelas jejak operator C₁(H), dan itu menghasilkan topologi-w* pada B(H), disebut topologi operator bintang lemah atau topologi σ. Topologi operator-lemah dan σ pada himpunan berbatas norma pada B(H).

Jaring {T_α} ⊂ B(H) konvergen ke T pada TOL jika dan hanya Tr(T_αF) konvergen ke Tr(TF) untuk semua operator peringkat terbatas F . Karena setiap operator peringkat-hingga adalah kelas-jejak. Untuk melihat mengapa klaim itu benar, ingatlah bahwa setiap operator peringkat terbatas F adalah jumlah hingga

F=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}u_{i}v_{i}^{*}.

Jadi {T_α} konvergen ke T dalam arti TOL

{\text{Tr}}\left(T_{\alpha }F\right)=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}v_{i}^{*}\left(T_{\alpha }u_{i}\right)\longrightarrow \sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}v_{i}^{*}\left(Tu_{i}\right)={\text{Tr}}(TF).

Memperluas, dapat dikatakan bahwa topologi operator-lemah dan σ pada himpunan hingga norma dalam B ( H ): Setiap operator kelas jejak adalah dalam bentuk

S=\sum _{i}\lambda _{i}u_{i}v_{i}^{*},

dimana deret $\sum \nolimits _{i}\lambda _{i}$ . Maka $\sup \nolimits _{\alpha }\|T_{\alpha }\|=k<\infty ,$ dan $T_{\alpha }\to T$ terdapat pada TOL. Untuk setiap kelas jejak S ,

{\text{Tr}}\left(T_{\alpha }S\right)=\sum _{i}\lambda _{i}v_{i}^{*}\left(T_{\alpha }u_{i}\right)\longrightarrow \sum _{i}\lambda _{i}v_{i}^{*}\left(Tu_{i}\right)={\text{Tr}}(TS),

dengan menggunakan, misalnya, teorema konvergensi dominasi.

Maka, himpunan yang dibatasi norma menjadi kompak dalam TOL, dengan Teorema Banach–Alaoglu.

Sifat lainnya

Operasi adjoin T → T* , sebagai konsekuensi langsung dari definisinya, adalah kontinu dalam TOL.

Perkalian tidak kontinu dalam TOL: maka $T$ menjadi pergeseran sepihak. Jika Cauchy-Schwarz, salah satunya memiliki keduanya Tⁿ dan T*ⁿ konvergen ke 0 dalam TOL. Maka T*ⁿTⁿ adalah operator identitas untuk semua $n$ . (Karena WOT bertepatan dengan topologi σ-weak pada himpunan terbatas, perkalian tidak terus menerus secara bersama-sama dalam topologi-σ.)

Namun, klaim yang lebih lemah dapat dibuat: perkalian secara terpisah terus menerus dalam TOL. Jika jaring T_i → T pada TOL, maka ST_i → ST dan T_iS → TS dalam TOL.

TOK dan TOL pada B(X,Y) ketika X dan Y adalah ruang bernorma

Kita dapat memperluas definisi TOK dan TOL ke pengaturan yang lebih umum di mana X dan Y adalah ruang bernorma dan $B(X,Y)$ adalah ruang operator linear berbatas dari formulir $T:X\to Y$ . Dalam hal ini, pada $x\in X$ and $y^{*}\in Y^{*}$ mendefinisikan sebuah seminorma $\|\cdot \|_{x,y^{*}}$ on $B(X,Y)$ via the rule $\|T\|_{x,y^{*}}=|y^{*}(Tx)|$ . Grup seminorma yang dihasilkan menghasilkan topologi operator lemah pada $B(X,Y)$ . Sama halnya, TOL pada $B(X,Y)$ dibentuk dengan mengambil lingkungan terbuka dasar himpunan formulir tersebut

N(T,F,\Lambda ,\epsilon ):=\left\{S\in B(X,Y):\left|y^{*}((S-T)x)\right|<\epsilon ,x\in F,y^{*}\in \Lambda \right\},

dimana $T\in B(X,Y),F\subset X$ adalah himpunan hingga, $\Lambda \subset Y^{*}$ juga merupakan himpunan hingga, dan $\epsilon >0$ . Ruang $B(X,Y)$ adalah ruang vektor topologi konveks lokal bila diberkahi dengan TOL.

Topologi operator kuat pada $B(X,Y)$ dihasilkan oleh grup seminorma $\|\cdot \|_{x},x\in X,$ via the rules $\|T\|_{x}=\|Tx\|$ . Jadi, basis topologi untuk TOK diberikan oleh lingkungan terbuka dari formulir