Vektor null

Sebuah kerucut null dimana q ( x , y , z ) = x 2 + y 2 − z 2 . {\displaystyle q(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-z^{2}.}

Dalam matematika, diberikan sebuah ruang vektor X {\displaystyle X} dengan sebuah bentuk kuadrat berkait q {\displaystyle q} , ditulis ( X , q ) {\displaystyle (X,q)} , sebuah vektor null atau vektor isotropik adalah sebuah elemen x {\displaystyle x} bukan nol dari X {\displaystyle X} untuk q ( x ) = 0 {\displaystyle q(x)=0} .

Dalam teori dari bentuk bilinear real, bentuk kuadrat tentu, dan bentuk kuadrat isotropik berbeda. Mereka dibedakan hanya untuk terakhir terdapat sebuah vektor null bukan nol.

Sebuah ruang kuadrat ( X , q ) {\displaystyle (X,q)} yang memiliki sebuah vektor null disebut ruang pseudo-Euklidean.

Sebuah ruang bektor pseudo-Euklidean mungkin menguraikan (bukan secara unik) menjadi subruang ortogonal A {\displaystyle A} dan B {\displaystyle B} , X = A + B {\displaystyle X=A+B} , dimana q {\displaystyle q} adalah positif-tentu pada A {\displaystyle A} dan negatif-tentu pada B {\displaystyle B} . Kerucut null, atau kerucut isotropik, dari X {\displaystyle X} terdiri dari gabungan dari bola seimbangː

⋃ r ≥ 0 { x = a + b : q ( a ) = − q ( b ) = r , a ∈ A , b ∈ B } . {\displaystyle \bigcup _{r\geq 0}\{x=a+b:q(a)=-q(b)=r,a\in A,b\in B\}.}

Kerucut null juga gabungan dari garis isotropik melalui asalnya.

Contoh

Vektor light-like dari ruang Minkowski adalah vektor null.

Empat kebebasan linear bikuaternion l = 1 + h i {\displaystyle l=1+hi} , n = 1 + h j {\displaystyle n=1+hj} , m = 1 + h k {\displaystyle m=1+hk} , dan m ∗ = 1 − h k {\displaystyle m^{*}=1-hk} adalah vektor null dan ( l , n , m , m ∗ ) {\displaystyle (l,n,m,m^{*})} bisa berfungsi sebagai sebuah basis untuk subruang digunakan untuk mewakili ruang waktu. Vektor null juga digunakan dalam formalism Newman-Penrose mendekati ke manifold ruang waktu.[1]

Sebuah aljabar komposisi terbagi ketika memiliki sebuah vektor null, jika tidak itu adalah aljabar pembagian.

Dalam modul Verma dari aljabar Lie terdapat vektor null.

Referensi

  • Dubrovin, B. A.; Fomenko, A. T.; Novikov, S. P. (1984). Modern Geometry: Methods and ApplicationsPerlu mendaftar (gratis). Diterjemahkan oleh Burns, Robert G. Springer. hlm. 50. ISBN 0-387-90872-2. 
  • Shaw, Ronald (1982). Linear Algebra and Group Representations. 1. Academic Press. hlm. 151. ISBN 0-12-639201-3. 
  • Neville, E. H. (Eric Harold) (1922). Prolegomena to Analytical Geometry in Anisotropic Euclidean Space of Three Dimensions. Cambridge University Press. hlm. 204. 
  1. ^ Patrick Dolan (1968) A Singularity-free solution of the Maxwell-Einstein Equations, Communications in Mathematical Physics 9(2):161–8, especially 166, link from Project Euclid