Classe limite

In analisi matematica, la classe limite è un concetto legato a quello di sottosuccessione e limite di una successione. Si tratta dell'insieme dei valori cui è possibile far tendere una sottosuccessione di una data successione, e come tale può essere di cardinalità finita o infinita, ma non l'insieme vuoto.

Definizione

Sia ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n}}$ una successione di numeri reali; si dice che ${\displaystyle \alpha }$ è un valore limite della successione se esiste una sottosuccessione ${\displaystyle \{x_{n_{k}}\}_{k}}$ per cui

${\displaystyle \lim _{k\to +\infty }{x_{n_{k}}}=\alpha }$.

Non è necessario che la successione sia regolare (cioè convergente o divergente); infatti anche una successione irregolare ammette sempre sottosuccessioni regolari.

La classe limite della successione è l'insieme dei valori limite^[1]; cioè, se ${\displaystyle C}$ indica la classe limite di ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n}}$:

${\displaystyle C=\{\alpha \in \mathbb {R} :\exists \{x_{n_{k}}\}_{k}{\underset {k\to +\infty }{\ \ \longrightarrow \ \alpha }}\}}$.

Esempi

• ${\displaystyle x_{n}=\sin {\frac {n\pi }{2}}}$;

In questo caso ${\displaystyle C=\{-1,0,1\}}$; infatti ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n\geq 0}=\{0,1,0,-1,\cdots \}}$, quindi una sottosuccessione può constare solo dei valori ${\displaystyle 0,1,-1}$; le sottosuccessioni banali del tipo ${\displaystyle \{x_{2n}\}_{n}=\{0,0,0,\cdots \},\{x_{4n+1}\}=\{1,1,1,\cdots \},\{x_{4n-1}\}=\{-1,-1,-1,\cdots \}}$, ad esempio, ammettono come valori limite ${\displaystyle 0,1,-1}$ rispettivamente.

• ${\displaystyle x_{n}=n\sin {\frac {n\pi }{2}}}$;

In questo caso ${\displaystyle C=\{-\infty ,0,+\infty \}}$; infatti ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n\geq 0}=\{0,1,0,-2,0,3,\cdots \}}$, e una sottosuccessione deve valere definitivamente zero o in alternativa non essere limitata.

Proprietà

La classe limite di una successione non è mai vuota. Infatti, se ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n}}$ è limitata, allora la sua chiusura è compatta, e quindi la successione ammette una sottosuccessione convergente (teorema di Bolzano-Weierstrass). Se invece non è limitata superiormente (o inferiormente), si può trovare una sottosuccessione del tipo ${\displaystyle \{x_{j}\}_{j}}$ con

${\displaystyle x_{j}={\underset {i<j}{\max }}{\ x_{i}}}$

(o

${\displaystyle x_{j}={\underset {i<j}{\min }}{\ x_{i}}}$)

che ammette come limite ${\displaystyle +\infty }$ (o ${\displaystyle -\infty }$).

L'intersezione tra la classe limite e l'insieme dei numeri reali (cioè la classe limite cui sono stati tolti eventualmente i punti all'infinito) è un insieme chiuso. Infatti, se ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$ è di accumulazione per ${\displaystyle C\cap \mathbb {R} }$, allora esistono ${\displaystyle \alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n},\cdots }$ che avvicinano indefinitamente ${\displaystyle \alpha }$; questi ${\displaystyle \alpha _{i}}$ sono limiti di sottosuccessioni di ${\displaystyle \{x_{n}\}}$, quindi possiamo trovare una sottosuccessione che si avvicina indefinitamente ad ${\displaystyle \alpha }$, usando come "paletti" i valori limite ${\displaystyle \alpha _{i}}$ (cui possiamo avvicinarci a piacere per sottosuccessioni).

Inoltre la classe limite, intesa come sottoinsieme di ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}:=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}}$ (il cosiddetto ${\displaystyle \mathbb {R} }$ esteso) ammette sempre massimo e minimo; infatti, se ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ è illimitata (ad esempio superiormente), allora ${\displaystyle +\infty \in C}$, e ${\displaystyle \max C=+\infty }$; altrimenti, se ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ è limitata (ad esempio superiormente), allora lo è anche ${\displaystyle C}$ (o esisterebbe un valore limite strettamente maggiore dell'estremo superiore della successione), e poiché ${\displaystyle C\cap \mathbb {R} }$ è chiuso, esso contiene il proprio superiore, e quindi ammette massimo. Un analogo ragionamento prova che la classe limite ammette minimo.^[1]

Limite superiore e limite inferiore

Data una successione, si definisce limite superiore di tale successione il massimo della sua classe limite^[1]:

${\displaystyle {\underset {n\to +\infty }{\limsup }}{\ x_{n}}={\underset {n\to +\infty }{\overline {\lim }}}{x_{n}}:=\max {C}}$;

similmente si definisce il limite inferiore di tale successione il minimo della sua classe limite:

${\displaystyle {\underset {n\to +\infty }{\liminf }}{\ x_{n}}={\underset {n\to +\infty }{\underline {\lim }}}{x_{n}}:=\min {C}}$.

È chiaro, per le argomentazioni del paragrafo precedente, che tali valori esistono sempre. In generale, essi saranno differenti (ovviamente si avrà ${\displaystyle \liminf x_{n}\leq \limsup x_{n}}$); se tuttavia questi valori coincidono, se cioè la classe limite consta di un solo elemento, allora tutte le sottosuccessioni convergono allo stesso valore limite. Questa è condizione necessaria e sufficiente per garantire la convergenza della successione principale, cioè:

${\displaystyle \exists \lim _{n\to +\infty }{x_{n}}\in {\overline {\mathbb {R} }}\iff {\underset {n\to +\infty }{\liminf }}{\ x_{n}}={\underset {n\to +\infty }{\limsup }}{\ x_{n}}\iff |C|=1}$,

dove ${\displaystyle |\cdot |}$ indica la cardinalità dell'insieme.

Note

Bibliografia

• Paolo Maurizio Soardi, Analisi Matematica, CittàStudi, 2007, ISBN 978-88-251-7319-2.

Voci correlate

• Successione (matematica)
• Sottosuccessione
• Limite di una successione
• Limite superiore e limite inferiore

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