Congettura di Borsuk

In matematica, la congettura di Borsuk è un problema di geometria discreta.

Il problema

Nel 1932 Karol Borsuk mostrò che una qualsiasi palla 3-dimensionale in uno spazio euclideo poteva essere divisa in 4 solidi, ognuno dei quali aveva diametro inferiore a quello della palla iniziale. Più in generale, Borsuk mostrò che ogni palla d-dimensionale poteva essere divisa in d+1 solidi di diametro minore. Inoltre, provò anche che questo non era possibile con solo d solidi. Questo portò Borsuk a porsi una domanda, divenuta la congettura di Borsuk:

La seguente questione rimane aperta: Può ogni sottinsieme limitato E di

\mathbb {R} ^{n}

essere diviso in n+1 insiemi, ognuno dei quali ha diametro minore di E?^[1]

Il problema ha trovato una risposta positiva nei seguenti casi:

d = 2, risultato originario di Borsuk (1932).
d = 3, risultato di H. G. Eggleston (1955). Una dimostrazione più semplice fu successivamente data da Branko Grünbaum e Aladár Heppes (matematico).
Per ogni d, se il solido è liscio e convesso. Risultato di Hugo Hadwiger (1946)
Per ogni d se il solido ha simmetria centrale. Risultato di A.S. Riesling (1971)
Per ogni d se il solido è di rotazione. Risultato di Boris Dekster (1995)

Il problema fu infine risolto nel 1993 da Jeff Kahn e Gil Kalai, che mostrarono che la risposta in generale è negativa^[2]. Il loro controesempio mostrava che d+1 solidi non sono sufficienti per d = 1325 e per ogni d > 2014. Il miglior risultato attuale afferma che il problema ha risposta negativa per ogni d ≥ 64.^[3]^[4]

Oltre a trovare il minimo d per cui il numero di pezzi necessari $\alpha (d)$ è maggiore di d+1, è interessante anche studiare il comportamento della funzione $\alpha (d)$ . Kahn e Kalai mostrarono nel loro lavoro che in generale $\alpha (d)\geq (1.2)^{\sqrt {d}}$ . Inoltre, Oded Schramm dimostrò che per ogni ε, se d è abbastanza grande, $\alpha (d)\leq \left({\sqrt {3/2}}+\varepsilon \right)^{d}$ . L'ordine di grandezza di $\alpha (d)$ è tuttora sconosciuto, anche se è stato congetturato che esiste una costante c > 1 tale che $\alpha (d)>c^{d}$ per ogni d ≥ 1.

Note

^ K. Borsuk, Drei Sätze über die n-dimensionale euklidische Sphäre, "Fundamenta Mathematicae", 20 (1933). 177–190
^ Jeff Kahn e Gil Kalai, A counterexample to Borsuk's conjecture, in Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 29, 1993, pp. 60–62, DOI:10.1090/S0273-0979-1993-00398-7, MR 1193538, arXiv:math.MG/9307229.
^ Andriy V. Bondarenko, On Borsuk's conjecture for two-distance sets
^ Thomas Jenrich, A 64-dimensional two-distance counterexample to Borsuk's conjecture

Bibliografia

Drei Sätze über die n-dimensionale euklidische Sphäre (PDF), su matwbn.icm.edu.pl.
Jeff Kahn and Gil Kalai, A counterexample to Borsuk's conjecture, Bulletin of the American Mathematical Society 29 (1993), 60–62.
Noga Alon, Discrete mathematics: methods and challenges, Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Pechino 2002, vol. 1, 119–135.
Aicke Hinrichs and Christian Richter, New sets with large Borsuk numbers^{[collegamento interrotto]}, Discrete Math. 270 (2003), 137–147
Andrei M. Raigorodskii, The Borsuk partition problem: the seventieth anniversary, Mathematical Intelligencer 26 (2004), no. 3, 4–12.
Oded Schramm, Illuminating sets of constant width, Mathematika 35 (1988), 180–199.