Controimmagine

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La controimmagine f − 1 ( U ) {\displaystyle f^{-1}(U)} di un insieme U è il sottoinsieme dei punti di X che vengono associati a punti di U da f {\displaystyle f}

In matematica, la controimmagine di un sottoinsieme del codominio di una funzione, anche detta immagine inversa, fibra, antiimmagine, retroimmagine o preimmagine, è l'insieme degli elementi del dominio che la funzione associa a tale sottoinsieme. Si tratta quindi di un sottoinsieme del dominio della funzione.

Definizione

Data una funzione f : A → B, la controimmagine di un insieme B1 ⊆ B tramite f è un sottoinsieme di A {\displaystyle A} , indicato con f − 1 ( B 1 ) {\displaystyle f^{-1}(B_{1})} [1] tale che a {\displaystyle a} appartiene a f − 1 ( B 1 ) {\displaystyle f^{-1}(B_{1})} se e solo se f ( a ) {\displaystyle f(a)} appartiene a B 1 {\displaystyle B_{1}} . In modo equivalente:

f − 1 ( B 1 ) := { a ∈ A | f ( a ) ∈ B 1 } ⊆ A . {\displaystyle f^{-1}(B_{1}):=\left\{a\in A\left|\right.f(a)\in B_{1}\right\}\subseteq A.}

Talvolta si considera il seguente insieme, chiamato fibra di b, la cui notazione è, invero, leggermente impropria:

f − 1 ( b ) := { a ∈ A | f ( a ) = b } ⊆ A . {\displaystyle f^{-1}(b):=\left\{a\in A\left|\right.f(a)=b\right\}\subseteq A.}

Tali insiemi, che dovrebbero essere più propriamente indicati f − 1 ( { b } ) {\displaystyle f^{-1}(\{b\})} , sono di particolare importanza quando le funzioni coinvolte sono funzioni reali; in questo caso vengono anche detti insiemi di livello o curve di livello. In topologia, invece, si chiamano fibre.

Proprietà

Considerata una funzione f : A → B, valgono le seguenti proprietà:

  • f − 1 ( I m f ) = f − 1 ( f ( A ) ) = A . {\displaystyle f^{-1}\left(\mathrm {Im} \,f\right)=f^{-1}{\big (}f(A){\big )}=A.}
  • Se B 1 ⊆ B 2 ⊆ B {\displaystyle B_{1}\subseteq B_{2}\subseteq B} , allora f − 1 ( B 1 ) ⊆ f − 1 ( B 2 ) ⊆ A . {\displaystyle f^{-1}(B_{1})\subseteq f^{-1}(B_{2})\subseteq A.}

In B2 potrebbe esserci un elemento b che appartiene all'immagine di f ma non a B1.

  • La controimmagine dell'unione di due insiemi è l'unione delle due controimmagini. In simboli: f − 1 ( B 1 ∪ B 2 ) = f − 1 ( B 1 ) ∪ f − 1 ( B 2 ) . {\displaystyle f^{-1}(B_{1}\cup B_{2})=f^{-1}(B_{1})\cup f^{-1}(B_{2})\,\!.}
    • In generale: f − 1 ( ⋃ i B i ) = ⋃ i f − 1 ( B i ) . {\displaystyle f^{-1}\left(\bigcup _{i}B_{i}\right)=\bigcup _{i}f^{-1}(B_{i})\,\!.}
  • La controimmagine dell'intersezione di due insiemi è l'intersezione delle due controimmagini. In simboli: f − 1 ( B 1 ∩ B 2 ) = f − 1 ( B 1 ) ∩ f − 1 ( B 2 ) . {\displaystyle f^{-1}(B_{1}\cap B_{2})=f^{-1}(B_{1})\cap f^{-1}(B_{2}).} [2]
    • In generale: f − 1 ( ⋂ i B i ) = ⋂ i f − 1 ( B i ) . {\displaystyle f^{-1}\left(\bigcap _{i}B_{i}\right)=\bigcap _{i}f^{-1}(B_{i})\,\!.}
  • La controimmagine della differenza di due insiemi è la differenza delle due controimmagini. In simboli: f − 1 ( B 1 ∖ B 2 ) = f − 1 ( B 1 ) ∖ f − 1 ( B 2 ) . {\displaystyle f^{-1}\left(B_{1}\setminus B_{2}\right)=f^{-1}(B_{1})\setminus f^{-1}(B_{2}).}
  • Per ogni A 1 ⊆ A {\displaystyle A_{1}\subseteq A} sottoinsieme del dominio, allora A 1 ⊆ f − 1 ( f ( A 1 ) ) {\displaystyle A_{1}\subseteq f^{-1}{\big (}f(A_{1}){\big )}} e l'uguaglianza vale sempre se e solo se la funzione f è iniettiva.

Potrebbero esserci elementi del dominio che non stanno in A1 ma che hanno la stessa immagine di un elemento in A1. Ovviamente se f è iniettiva questo non può succedere.

  • Per ogni B 1 ⊆ B {\displaystyle B_{1}\subseteq B} sottoinsieme del codominio, allora f ( f − 1 ( B 1 ) ) ⊆ B 1 {\displaystyle f{\big (}f^{-1}(B_{1}){\big )}\subseteq B_{1}} e l'uguaglianza vale sempre se e solo se la funzione f è suriettiva.

Potrebbero esserci elementi in B1 che non appartengono all'immagine di f. Se però f è suriettiva questo non accade.

  • Se g : B → C {\displaystyle g:B\to C}   e   C 1 ⊆ C , {\displaystyle C_{1}\subseteq C\,\!,}   allora ( g ∘ f ) − 1 ( C 1 ) = f − 1 ( g − 1 ( C 1 ) ) . {\displaystyle \left(g\circ f\right)^{-1}(C_{1})=f^{-1}\left(g^{-1}(C_{1})\right)\,\!.}

Esempi

Sia f : R → R {\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} } tale che x ↦ x 2 {\displaystyle x\mapsto x^{2}} . Allora f − 1 ( [ 1 , 4 ] ) = [ − 2 , − 1 ] ∪ [ 1 , 2 ] {\displaystyle f^{-1}([1,4])=[-2,-1]\cup [1,2]}

Note

  1. ^ L'uso di tale scrittura comporta un lieve abuso di notazione, in quanto è la stessa utilizzata per la funzione inversa, che agisce su elementi e non su insiemi.
  2. ^ Questa proprietà e la precedente caratterizzano f − 1 {\displaystyle f^{-1}} come un omomorfismo di reticoli.

Bibliografia

  • Marco Abate e Chiara de Fabritiis. Geometria analitica con elementi di algebra lineare. Milano, McGraw-Hill, 2006. ISBN 8838662894.
  • Giulio Campanella. Appunti di algebra. Roma, Nuova Cultura, 2005. ISBN 8889362227.

Voci correlate

  • Immagine (matematica)
  • Funzione composta
  • Funzione inversa

Collegamenti esterni

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