Distribuzione normale inversa

In teoria delle probabilità la distribuzione normale inversa (o gaussiana inversa) è una distribuzione di probabilità continua dipendente da due parametri definita sui numeri reali positivi. È usata tra l'altro nel Modello lineare generalizzato.

Definizione

Una distribuzione normale inversa con parametri $\lambda >0$ e $\mu >0$ ha come funzione di densità di probabilità

$f(x)=\left({\frac {\lambda }{2\pi x^{3}}}\right)^{\frac {1}{2}}e^{\displaystyle -{\frac {\lambda (x-\mu )^{2}}{2\mu ^{2}x}}}$

per x > 0.

Caratteristiche

Il valore atteso di una variabile casuale normale inversa X è

\operatorname {E} (X)=\mu

La varianza è

\operatorname {Var} (X)={\frac {\mu ^{3}}{\lambda }}

per cui la deviazione standard

\sigma ={\sqrt {\frac {\mu ^{3}}{\lambda }}}

e il coefficiente di variazione è

\operatorname {VarK} (X)={\sqrt {\frac {\mu }{\lambda }}}

Il coefficiente di asimmetria viene indicato con

\operatorname {v} (X)=3{\sqrt {\frac {\mu }{\lambda }}}

La funzione caratteristica è data da

\phi _{X}(s)=e^{{\frac {\lambda }{\mu }}\left(1-{\sqrt {1-{\frac {2\mu ^{2}is}{\lambda }}}}\right)}

mentre la funzione generatrice dei momenti della v.c. normale inversa è

m_{X}(s)=e^{{\frac {\lambda }{\mu }}\left(1-{\sqrt {1-{\frac {2\mu ^{2}s}{\lambda }}}}\right)}

Teorema

Somma di v.c. normali inverse identiche

Siano $X_{1},\dots ,X_{n}$ tutte variabili casuali distribuite come una normale inversa con i parametri $\lambda$ e $\mu$ , allora la loro media ${\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}$ è nuovamente una v.c. normale inversa, ma con i parametri $n\lambda$ e $\mu$ .