Elasticità di scala

L'elasticità di scala (in inglese elasticity of scale o total elasticity of production) è un particolare tipo di elasticità utilizzato nell'economia della produzione e originariamente introdotto dall'economista norvegese Ragnar Frisch (1965).

Data una funzione di produzione del tipo:

  y = f ( x ) {\displaystyle \ y=f(\mathbf {x} )}

dove y è l'output e x è il vettore degli input in termini fisici, e uno scalare positivo λ, l'elasticità di scala si definisce come:

(1)   ε = d f ( λ x ) d λ λ f ( λ x ) | λ = 1 {\displaystyle \ \varepsilon =\left.{\frac {df(\lambda \mathbf {x} )}{d\lambda }}{\frac {\lambda }{f(\lambda \mathbf {x} )}}\right|_{\lambda =1}}

Diremo che la tecnologia esibisce localmente in x rendimenti di scala crescenti, costanti, o decrescenti, a seconda che l'elasticità di scala sia, rispettivamente, maggiore, uguale o minore di 1.

Da notare che la (1) può essere riscritta come:

  ε = lim λ → 1 d log ⁡ f ( λ x ) d log ⁡ λ {\displaystyle \ \varepsilon =\lim _{\lambda \rightarrow 1}{\frac {d\log f(\lambda \mathbf {x} )}{d\log \lambda }}}

Da cui, applicando la regola di L'Hopital otteniamo:

(2)   ε = lim λ → 1 d log ⁡ f ( λ x ) d λ d log ⁡ λ d λ = lim λ → 1 λ f ( λ x ) ( ∂ f ( λ x ) ∂ ( λ x ) ) ′ x = 1 f ( x ) ( ∂ f ( x ) ∂ x ) ′ x = ∑ i ∂ f ( x ) ∂ x i x i f ( x ) {\displaystyle \ \varepsilon =\lim _{\lambda \rightarrow 1}{\frac {\frac {d\log f(\lambda \mathbf {x} )}{d\lambda }}{\frac {d\log \lambda }{d\lambda }}}=\lim _{\lambda \rightarrow 1}{\frac {\lambda }{f(\lambda \mathbf {x} )}}\left({\frac {\partial f(\lambda \mathbf {x} )}{\partial (\lambda \mathbf {x} )}}\right)'\mathbf {x} ={\frac {1}{f(\mathbf {x} )}}\left({\frac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial \mathbf {x} }}\right)'\mathbf {x} =\sum _{i}{\frac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial x_{i}}}{\frac {x_{i}}{f(\mathbf {x} )}}}

Il termine i-esimo della sommatoria nella (2) non è altro che l'elasticità di output dell'input corrispondente, quindi l'elasticità di scala può essere anche calcolata come somma delle elasticità di output dei singoli fattori di produzione impiegati.

Bibliografia

  • Frisch, R. (1965), Theory of Production, Rand McNally, Chicago;

Voci correlate