Funzione di Whittaker

In matematica, una funzione di Whittaker, il cui nome si deve al matematico inglese Edmund Taylor Whittaker, è una soluzione dell'equazione di Whittaker, una variante dell'equazione ipergeometrica confluente che ha la forma:

d 2 W d z 2 + ( − 1 4 + κ z + 1 4 − m 2 z 2 ) W = 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}W}{dz^{2}}}+\left(-{\frac {1}{4}}+{\frac {\kappa }{z}}+{\frac {{\frac {1}{4}}-m^{2}}{z^{2}}}\right)W=0}

dove κ {\displaystyle \kappa } e m {\displaystyle m} assumono valori in C {\displaystyle \mathbb {C} } .

Si tratta di un'equazione differenziale lineare del secondo ordine, ed è una forma ridotta dell'equazione ipergeometrica degenere. Più in generale, Hervé Jacquet introdusse negli anni '60 le funzioni di Whittaker per gruppi riduttivi su campi locali: le funzioni studiate da Whittaker sono sostanzialmente il caso in cui il campo locale è quello dei numeri reali e il gruppo è S L 2 ( R ) {\displaystyle SL_{2}(\mathbb {R} )} .

Due soluzioni sono date dalle funzioni speciali M κ , m {\displaystyle M_{\kappa ,m}} e W κ , m {\displaystyle W_{\kappa ,m}} introdotte da Whittaker nel 1904, e dette funzioni di Whittaker. La funzione M κ , m {\displaystyle M_{\kappa ,m}} può essere espressa con la funzione ipergeometrica confluente di Kummer:

M κ , m ( z ) = e − z / 2 z m + 1 / 2 M ( 1 / 2 + m − κ , 1 + 2 m , z ) {\displaystyle M_{\kappa ,m}(z)=e^{-z/2}z^{m+1/2}M(1/2+m-\kappa ,1+2m,z)}

La funzione W κ , m {\displaystyle W_{\kappa ,m}} può invece essere espressa mediante la funzione ipergeometrica confluente di Tricomi:

W κ , m ( z ) = e − z / 2 z m + 1 / 2 U ( 1 / 2 + m − κ , 1 + 2 m , z ) {\displaystyle W_{\kappa ,m}(z)=e^{-z/2}z^{m+1/2}U(1/2+m-\kappa ,1+2m,z)}

Whittaker ha ottenuto formule per esprimere funzioni speciali come le funzioni di Bessel, le funzioni paraboliche del cilindro, o la funzione gamma incompleta con le funzioni M κ , m {\displaystyle M_{\kappa ,m}} e W κ , m {\displaystyle W_{\kappa ,m}} .

Bibliografia

  • (EN) E. T. Whittaker, An expression of certain known functions as generalized hypergeometric functions, Bull. Amer. Math. Soc. 10, 125-134 (1903).
  • (EN) E. T. Whittaker; G. N. Watson, A course of modern analysis : an introduction to the general theory of infinite processes and of analytic functions ; with an account of the principal transcendental functions, Cambridge University Press, 1915.
  • (EN) H. A. Lauwerier, Confluent hypergeometric functions[collegamento interrotto], Center voor Wiskunde en Informatica, 1949
  • (EN) M. Abramowitz; I. Stegun, Handbook of Mathematical Functions (Dover, New York, 1972) [1]

Voci correlate

Collegamenti esterni

  • (EN) N.Kh. Rozov, Whittaker equation, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
  • (EN) Eric W. Weisstein, Funzione di Whittaker, su MathWorld, Wolfram Research. Modifica su Wikidata
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