Funzione digamma

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In matematica, per funzione digamma si intende la funzione speciale definita come derivata logaritmica della funzione gamma:

ψ 0 ( x ) := d d ⁡ x ln ⁡ Γ ( x ) = Γ ′ ( x ) Γ ( x ) . {\displaystyle \psi _{0}(x):={\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} x}}\ln {\Gamma (x)}={\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}.}

La funzione digamma talora viene anche denotata con Ψ ( x ) {\displaystyle \Psi (x)} e talora anche ψ 0 ( x ) {\displaystyle \psi ^{0}(x)} . Essa è collegata ai numeri armonici dalla uguaglianza

ψ 0 ( n ) = H n − 1 − γ {\displaystyle \psi _{0}(n)=H_{n-1}-\gamma }

dove H n − 1 {\displaystyle H_{n-1}} denota l' ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)} -esimo numero armonico e γ {\displaystyle \gamma } è la ben nota costante di Eulero-Mascheroni. Tale relazione si dimostra dalla definizione alternativa di Gauss della funzione gamma

Γ ( s ) = lim n → ∞ n ! n s s ( s + 1 ) ( s + 2 ) … ( s + n ) , {\displaystyle \Gamma \left(s\right)=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {n!n^{s}}{s\left(s+1\right)\left(s+2\right)\ldots \left(s+n\right)}},}

da cui

ψ ( s ) = d d s lim n → ∞ ( ln ⁡ n ! + s ln ⁡ n − ln ⁡ s − ln ⁡ ( s + 1 ) − ln ⁡ ( s + 2 ) − … − ln ⁡ ( s + n ) ) {\displaystyle \psi \left(s\right)={\frac {d}{ds}}\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\ln n!+s\ln n-\ln s-\ln \left(s+1\right)-\ln \left(s+2\right)-\ldots -\ln \left(s+n\right)\right)}
ψ ( s ) = lim n → ∞ ( ln ⁡ n − 1 s − 1 s + 1 − 1 s + 2 − … − 1 s + n ) {\displaystyle \psi \left(s\right)=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\ln n-{\frac {1}{s}}-{\frac {1}{s+1}}-{\frac {1}{s+2}}-\ldots -{\frac {1}{s+n}}\right)}
ψ ( s ) = lim n → ∞ ( ln ⁡ n − ∑ k = 1 s + n ( 1 k ) + 1 + 1 2 + … + 1 s − 1 ) {\displaystyle \psi \left(s\right)=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\ln n-\sum _{k=1}^{s+n}\left({\frac {1}{k}}\right)+1+{\frac {1}{2}}+\ldots +{\frac {1}{s-1}}\right)}
ψ ( s ) = lim n → ∞ ( ln ⁡ n − ∑ k = 1 n ( 1 k ) ) + 1 + 1 2 + … + 1 s − 1 {\displaystyle \psi \left(s\right)=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\ln n-\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {1}{k}}\right)\right)+1+{\frac {1}{2}}+\ldots +{\frac {1}{s-1}}}
ψ ( s ) = − γ + H s − 1 . {\displaystyle \psi \left(s\right)=-\gamma +H_{s-1}.}

Invece, se l'argomento della funzione digamma non è un numero intero positivo, ma è un generico numero complesso z {\displaystyle z} , si dimostra che

ψ 0 ( z ) = ψ ( z ) = − γ − 1 z − ∑ k = 1 ∞ ( 1 z + k − 1 k ) . {\displaystyle \psi _{0}(z)=\psi \left(z\right)=-\gamma -{\frac {1}{z}}-\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{z+k}}-{\frac {1}{k}}\right).}

Bibliografia

  • (DE) N. Nielsen Handbuch der Theorie der Gammafunktion (Teubner, 1906) p. 15
  • (EN) T. M. MacRobert Functions of a Complex Variable (McMillan, 1917) p. 161
  • (EN) M. Abramowitz e I. Stegun Handbook of Mathematical Functions (US Governement Printing Office, 1964) p. 258

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Collegamenti esterni

  • (EN) Eric W. Weisstein, Funzione digamma, su MathWorld, Wolfram Research. Modifica su Wikidata
  • Polygamma function in functions.wolfram.com
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