Funzione vertice

In elettrodinamica quantistica, la funzione vertice descrive l'accoppiamento tra un fotone e un elettrone a ordini superiori di quello dominante della teoria perturbativa. In particolare, è una funzione di correlazione irriducibile a una particella (1-particle irreducible) che coinvolge il fermione ψ {\displaystyle \psi } , l'antifermione ψ ¯ {\displaystyle {\bar {\psi }}} , e il potenziale vettore A.

Definizione

La correzione a un loop alla funzione vertice. Questo è il contributo dominante al momento magnetico anomalo dell'elettrone.

La funzione vertice Γ μ {\displaystyle \Gamma ^{\mu }} può essere definita in termini di una derivata funzionale dell'azione efficace Seff come

Γ μ = − 1 e δ 3 S e f f δ ψ ¯ δ ψ δ A μ {\displaystyle \Gamma ^{\mu }=-{1 \over e}{\delta ^{3}S_{\mathrm {eff} } \over \delta {\bar {\psi }}\delta \psi \delta A_{\mu }}}

La forma della funzione vertice è vincolata dalle simmetrie dell'elettrodinamica quantistica: l'invarianza di Lorentz, l'invarianza di gauge, o trasversalità del fotone, come espressa dall'identità di Ward, e l'invarianza sotto parità. Queste condizioni portano alla seguente struttura:

Γ μ = γ μ F 1 ( q 2 ) + i σ μ ν q ν 2 m F 2 ( q 2 ) {\displaystyle \Gamma ^{\mu }=\gamma ^{\mu }F_{1}(q^{2})+{\frac {i\sigma ^{\mu \nu }q_{\nu }}{2m}}F_{2}(q^{2})}

dove σ μ ν = ( i / 2 ) [ γ μ , γ ν ] {\displaystyle \sigma ^{\mu \nu }=(i/2)[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }]} , q ν {\displaystyle q_{\nu }} è il quadrimomento entrante del fotone esterno (a destra nella figura), e F1(q2) e F2(q2) sono fattori di forma che dipendono solo dall'impulso trasferito q2. Al livello albero (ordine dominante), F1(q2) = 1 e F2(q2) = 0, così la funzione vertice risulta essere semplicemente pari alla gamma di Dirac,

Γ μ = γ μ {\displaystyle \Gamma ^{\mu }=\gamma ^{\mu }}

Oltre l'ordine dominante, le correzioni a F1(0) vengono esattamente annullate dalla rinormalizzazione del campo. Il fattore di forma F2(0) corrisponde al momento magnetico anomalo a del fermione, definito in termini del fattore g di Landé come:

a = g − 2 2 = F 2 ( 0 ) {\displaystyle a={\frac {g-2}{2}}=F_{2}(0)}

Bibliografia

  • F. Gross, Relativistic Quantum Mechanics and Field Theory, 1ª ed., Wiley-VCH, 1993, ISBN 978-0471591139.
  • Michael Peskin e Daniel Schroeder, An Introduction to Quantum Field Theory, Reading, Addison-Wesley, 1995, ISBN 0-201-50397-2.
  • Steven Weinberg, The Quantum Theory of Fields, vol. I, 2002, ISBN 0-521-55001-7.

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