Gruppo di Prüfer

In matematica e più precisamente in teoria dei gruppi, il p-gruppo di Prüfer, Z(p∞), per un numero primo p, è l'unico p-gruppo di torsione in cui ogni elemento ha esattamente p radici p-esime distinte.

Altre rappresentazioni

Il p-gruppo di Prüfer si può rappresentare anche in molti altri modi equivalenti. Ad esempio, è facile mostrare che esso è isomorfo al p-sottogruppo_di_Sylow di Q/Z formato dagli elementi che hanno ordine una potenza di p, o equivalentemente,

Z ( p ∞ ) ≅ Z [ 1 / p ] / Z . {\displaystyle \mathbf {Z} (p^{\infty })\cong \mathbf {Z} [1/p]/\mathbf {Z} .}

Il p-gruppo di Prüfer può anche essere visto come sottogruppo del sottogruppo moltiplicativo dei complessi, C*; esso è infatti isomorfo al gruppo formato da tutte le radici pn-esime dell'unità al variare di n tra i numeri naturali (e dunque è anche un sottogruppo del gruppo circolare, 'U (1)).

Z ( p ∞ ) ≅ { exp ⁡ ( 2 π i n / p m ) ∣ n ∈ Z + , m ∈ Z + } ≤ C ∗ . {\displaystyle \mathbf {Z} (p^{\infty })\cong \{\exp(2\pi in/p^{m})\mid n\in \mathbf {Z} ^{+},\,m\in \mathbf {Z} ^{+}\}\;\leq \mathbb {C} ^{*}.}

Infine il p-gruppo di Prüfer si può determinare anche attraverso la sua presentazione

Z ( p ∞ ) ≅ ⟨ x 1 , x 2 , . . . ∣ x 1 p = 1 , x 2 p = x 1 , x 3 p = x 2 , . . . ⟩ {\displaystyle \mathbf {Z} (p^{\infty })\cong \langle x_{1},x_{2},...\mid x_{1}^{p}=1,x_{2}^{p}=x_{1},x_{3}^{p}=x_{2},...\rangle } .

Proprietà elementari

  • Il p-gruppo di Prüfer è l'unico p-gruppo che è localmente ciclico, cioè tale che ogni suo sottogruppo generato da un numero finito di elementi è ciclico. Inoltre esso è un gruppo divisibile.
  • I p-gruppi di Prüfer sono gli unici gruppi infiniti i cui sottogruppi sono totalmente ordinati dall'inclusione:
0 ⊂ Z / p ⊂ Z / p 2 ⊂ Z / p 3 ⊂ ⋯ ⊂ Z ( p ∞ ) {\displaystyle 0\subset \mathbf {Z} /p\subset \mathbf {Z} /p^{2}\subset \mathbf {Z} /p^{3}\subset \cdots \subset \mathbf {Z} (p^{\infty })}
Questa sequenza mostra inoltre come sia possibile rappresentare i p-gruppi di Prüfer anche come limiti diretti dei propri sottogruppi finiti.
  • Nella teoria dei gruppi localmente compatti il p-gruppo di Prüfer fornito della topologia discreta è il duale di Pontryagin del gruppo compatto degli interi p-adici (e viceversa).[1]
  • Come Z-modulo, il p-gruppo di Prüfer è artiniano, ma non noetheriano, e, allo stesso modo, come gruppo è artiniano ma non noetheriano.

Note

  1. ^ D. L. Armacost and W. L. Armacost, "On p-thetic groups Archiviato il 12 marzo 2007 in Internet Archive.", Pacific J. Math., 41, no. 2 (1972), 295–301

Voci correlate

  • Interi p-adici, che possono essere definiti come il limite inverso dei sottogruppi finite del p-gruppo di Prüfer.
  • Frazione diadica. Il 2-gruppo di Prüfer può essere visto come il gruppo delle frazioni diadiche modulo 1.

Collegamenti esterni

  • Voce di PlanetMath.
  • Voce di Encyclopaedia of Mathematics.
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