Gruppo di torsione

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In matematica, e in particolare in algebra, un gruppo di torsione o gruppo periodico è un gruppo in cui ogni elemento ha ordine finito. Tutti i gruppi finiti sono di torsione. Il concetto di gruppo di torsione non va confuso con quello di gruppo ciclico, ad esempio il gruppo additivo degli interi $(\mathbb {Z} ,+)$ è ciclico senza essere di torsione.

L'esponente di un gruppo di torsione $G$ è definito come il minimo comune multiplo, se esiste, degli ordini di tutti gli elementi di $G$ . Ogni gruppo finito ha un esponente, che è inoltre un divisore di $|G|$ .

Il problema limitato di Burnside è un classico problema sulla relazione tra i gruppi di torsione e i gruppi finiti, quando si assume che $G$ sia finitamente generato: ci si chiede se un esponente finito implichi la finitezza del gruppo (in generale, la risposta a questa domanda è negativa).

Esempi di gruppi di torsione infiniti sono il gruppo additivo dell'anello dei polinomi su un campo finito, o il gruppo quoziente dei razionali sugli interi, o la loro somma diretta, nota come gruppo di Prüfer. Nessuno di questi gruppi è però generato da un insieme finito; esempi espliciti di gruppi di torsione infiniti e finitamente generati furono costruiti per la prima volta nel 1964 da Golod e Šafarevič.