Identità di Jacobi

In matematica e in fisica, l'identità di Jacobi, il cui nome si deve a Carl Gustav Jakob Jacobi, è una proprietà di bilinearità la quale dipende dall'ordine di valutazione dell'operazione data. Diversamente dalle operazioni associative, è importante l'ordine di valutazione delle quantità che devono soddisfare all'identità di Jacobi.

Definizione

L'identità di Jacobi è la relazione della seguente forma:

${\displaystyle [X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]=0}$

dove ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$ è il commutatore.

Un'operazione binaria ${\displaystyle \times }$definita su un insieme ${\displaystyle S}$ con un'operazione binaria ${\displaystyle +}$ con identità additiva ${\displaystyle 0}$ (elemento neutro rispetto a ${\displaystyle +}$) soddisfa l'identità di Jacobi se:

${\displaystyle a\times (b\times c)+c\times (a\times b)+b\times (c\times a)=0\qquad \forall {a,b,c}\in S}$

Ovvero se la somma di tutte le permutazioni pari di ${\displaystyle (a,(b,c))}$ deve essere nulla.

Questa identità può essere presa in considerazione per qualsiasi anello intendendo che sia ${\displaystyle \,[X,Y]:=X\cdot Y-Y\cdot X}$, cioè che le parentesi quadrate caratterizzino il commutatore degli elementi dell'anello. In particolare, l'identità può essere presa in considerazione quando ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ e ${\displaystyle Z}$ sono elementi di un'algebra e, ancora più in particolare, quando ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ e ${\displaystyle Z}$ denotano matrici quadrate su un campo. Una tale algebra in genere non è anticommutativa.

L'identità di Jacobi interviene anche nella definizione dell'algebra di Lie come assioma per la legge di composizione data dalla scrittura ${\displaystyle [X,Y]}$. In un'esposizione generale questa composizione viene trattata assiomaticamente, in una applicazione viene definita costruttivamente. Applicazioni di rilievo si hanno nella meccanica analitica e nella meccanica quantistica.

Bibliografia

• (EN) James E. Humphreys Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Second printing, revised. Graduate Texts in Mathematics, 9. Springer-Verlag, New York, 1978. ISBN 0-387-90053-5
• (EN) Nathan Jacobson (1962): Lie algebras, Republication Dover Publications, New York, 1979. ISBN 0-486-63832-4
• (EN) Victor G. Kac, et. al. Course notes for MIT 18.745: Introduction to Lie Algebras, [1]
• (EN) Robert N. Cahn (1984) Semi-Simple Lie Algebras and their Representations Archiviato il 7 settembre 2010 in Internet Archive., Benjamin-Cummings
• Hans Samelson Notes on Lie Algebra

Voci correlate

• Algebra di Lie
• Commutatore (matematica)
• Parentesi di Poisson
• Parentesi di Jacobi
• Superalgebra di Lie

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Identità di Jacobi, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Robert N. Cahn (1984) Semi-Simple Lie Algebras and their Representations Archiviato il 7 settembre 2010 in Internet Archive., Benjamin-Cummings
• (EN) Hans Samelson Notes on Lie Algebra

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