Metodo Strachey per i quadrati magici

Il metodo Strachey per i quadrati magici è un algoritmo per la creazione di quadrati magici di ordine singolarmente pari (cioè divisibile per 2, ma non per 4) n = 4k+2.

Di seguito, verrà spiegato, come esempio, come costruire un quadrato magico di ordine n = 10 (k = 2).

Primo passo

Dividere la griglia, che andrà a costituire il quadrato magico, in quattro parti (A, B, C, D), ognuna delle quali conterrà n2/4 numeri, e disponetele nel modo seguente

A C

D B

Secondo passo

Utilizzando il metodo siamese (metodo di De la Loubère), completare individualmente A, B, C e D, come quattro sub-quadrati magici di ordine dispari 2k+1, in modo che:

  1. A contenga i numeri da 1 a n2/4;
  2. B contenga i numeri da n2/4 + 1 a 2n2/4;
  3. C contenga i numeri da 2n2/4 + 1 a 3n2/4;
  4. D contenga i numeri da 3n2/4 + 1 a n2.
A - C
[ 17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 22 10 12 19 21 3 11 18 25 2 9 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}17&24&1&8&15\\23&5&7&14&16\\4&6&13&20&22\\10&12&19&21&3\\11&18&25&2&9\\\end{bmatrix}}} [ 67 74 51 58 65 73 55 57 64 66 54 56 63 70 72 60 62 69 71 53 61 68 75 52 59 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}67&74&51&58&65\\73&55&57&64&66\\54&56&63&70&72\\60&62&69&71&53\\61&68&75&52&59\\\end{bmatrix}}}
D - B
[ 92 99 76 83 90 98 80 82 89 91 79 81 88 95 97 85 87 94 96 78 86 93 100 77 84 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}92&99&76&83&90\\98&80&82&89&91\\79&81&88&95&97\\85&87&94&96&78\\86&93&100&77&84\\\end{bmatrix}}} [ 42 49 26 33 40 48 30 32 39 41 29 31 38 45 47 35 37 44 46 28 36 43 50 27 34 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}42&49&26&33&40\\48&30&32&39&41\\29&31&38&45&47\\35&37&44&46&28\\36&43&50&27&34\\\end{bmatrix}}}

Terzo passo

Scambiare le k colonne di estrema sinistra del sub-quadrato A con le colonne corrispondenti del sub-quadrato D.

A - C
[ ( 92 ) ( 99 ) 1 8 15 ( 98 ) ( 80 ) 7 14 16 ( 79 ) ( 81 ) 13 20 22 ( 85 ) ( 87 ) 19 21 3 ( 86 ) ( 93 ) 25 2 9 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}(92)&(99)&1&8&15\\(98)&(80)&7&14&16\\(79)&(81)&13&20&22\\(85)&(87)&19&21&3\\(86)&(93)&25&2&9\\\end{bmatrix}}} [ 67 74 51 58 65 73 55 57 64 66 54 56 63 70 72 60 62 69 71 53 61 68 75 52 59 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}67&74&51&58&65\\73&55&57&64&66\\54&56&63&70&72\\60&62&69&71&53\\61&68&75&52&59\\\end{bmatrix}}}
D - B
[ ( 17 ) ( 24 ) 76 83 90 ( 23 ) ( 5 ) 82 89 91 ( 4 ) ( 6 ) 88 95 97 ( 10 ) ( 12 ) 94 96 78 ( 11 ) ( 18 ) 100 77 84 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}(17)&(24)&76&83&90\\(23)&(5)&82&89&91\\(4)&(6)&88&95&97\\(10)&(12)&94&96&78\\(11)&(18)&100&77&84\\\end{bmatrix}}} [ 42 49 26 33 40 48 30 32 39 41 29 31 38 45 47 35 37 44 46 28 36 43 50 27 34 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}42&49&26&33&40\\48&30&32&39&41\\29&31&38&45&47\\35&37&44&46&28\\36&43&50&27&34\\\end{bmatrix}}}

Quarto passo

Scambiare le k - 1 colonne di estrema destra del sub-quadrato C con le corrispondenti colonne del sub-quadrato B.

A - C
[ 92 99 1 8 15 98 80 7 14 16 79 81 13 20 22 85 87 19 21 3 86 93 25 2 9 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}92&99&1&8&15\\98&80&7&14&16\\79&81&13&20&22\\85&87&19&21&3\\86&93&25&2&9\\\end{bmatrix}}} [ 67 74 51 58 ( 40 ) 73 55 57 64 ( 41 ) 54 56 63 70 ( 47 ) 60 62 69 71 ( 28 ) 61 68 75 52 ( 34 ) ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}67&74&51&58&(40)\\73&55&57&64&(41)\\54&56&63&70&(47)\\60&62&69&71&(28)\\61&68&75&52&(34)\\\end{bmatrix}}}
D - B
[ 17 24 76 83 90 23 5 82 89 91 4 6 88 95 97 10 12 94 96 78 11 18 100 77 84 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}17&24&76&83&90\\23&5&82&89&91\\4&6&88&95&97\\10&12&94&96&78\\11&18&100&77&84\\\end{bmatrix}}} [ 42 49 26 33 ( 65 ) 48 30 32 39 ( 66 ) 29 31 38 45 ( 72 ) 35 37 44 46 ( 53 ) 36 43 50 27 ( 59 ) ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}42&49&26&33&(65)\\48&30&32&39&(66)\\29&31&38&45&(72)\\35&37&44&46&(53)\\36&43&50&27&(59)\\\end{bmatrix}}}

Quinto passo

  1. Scambiare il numero centrale della colonna di estrema sinistra del sub-quadrato A con il numero corrispondente del sub-quadrato D;
  2. Scambiare il numero centrale del sub-quadrato A con il numero corrispondente del sub-quadrato D.
A - C
[ 92 99 1 8 15 98 80 7 14 16 ( 4 ) 81 ( 88 ) 20 22 85 87 19 21 3 86 93 25 2 9 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}92&99&1&8&15\\98&80&7&14&16\\(4)&81&(88)&20&22\\85&87&19&21&3\\86&93&25&2&9\\\end{bmatrix}}} [ 67 74 51 58 40 73 55 57 64 41 54 56 63 70 47 60 62 69 71 28 61 68 75 52 34 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}67&74&51&58&40\\73&55&57&64&41\\54&56&63&70&47\\60&62&69&71&28\\61&68&75&52&34\\\end{bmatrix}}}
D - B
[ 17 24 76 83 90 23 5 82 89 91 ( 79 ) 6 ( 13 ) 95 97 10 12 94 96 78 11 18 100 77 84 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}17&24&76&83&90\\23&5&82&89&91\\(79)&6&(13)&95&97\\10&12&94&96&78\\11&18&100&77&84\\\end{bmatrix}}} [ 42 49 26 33 65 48 30 32 39 66 29 31 38 45 72 35 37 44 46 53 36 43 50 27 59 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}42&49&26&33&65\\48&30&32&39&66\\29&31&38&45&72\\35&37&44&46&53\\36&43&50&27&59\\\end{bmatrix}}}

Il risultato è un quadrato magico di ordine n = 4k + 2.[1]

Note

  1. ^ W W Rouse Ball Mathematical Recreations and Essays, (1911)

Voci correlate

  • Quadrato magico
  • Metodo siamese
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