Metodo dei nodi

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In elettrotecnica e in particolare in teoria dei circuiti si definisce metodo dei nodi o più propriamente metodo dei potenziali ai nodi il procedimento risolutivo per circuiti di bipoli, sia in regime stazionario che sinusoidale, per determinare tutti i potenziali ai nodi del circuito. Si può applicare solo a reti con generatori di corrente e componenti ad ammettenza, ma in caso di reti con generatori di tensione ideali si può ricorrere ad una sua variante.

Il vantaggio principale del metodo dei potenziali ai nodi è che per una rete con ${\displaystyle n}$ nodi e ${\displaystyle l}$ lati richiede la soluzione di solo ${\displaystyle n-1}$ equazioni, a differenza delle ${\displaystyle n-1}$ equazioni ai nodi e le ${\displaystyle l-n+1}$ equazioni alle maglie ottenute applicando direttamente le leggi di Kirchhoff.

Esempio

La rete in figura è composta da bipoli lineari, due generatori di corrente e cinque resistori, è quindi possibile applicare il metodo dei potenziali ai nodi. Si sceglie un nodo arbitrariamente (nel disegno il nodo in basso) e lo si assume come potenziale di riferimento, ora ${\displaystyle V_{1},V_{2},V_{3}}$ sono le tensioni tra i nodi 1 2 3 e il nodo di riferimento.

È possibile scrivere ogni corrente incognita della rete in funzione di ${\displaystyle V_{1},V_{2},V_{3}}$, ${\displaystyle I_{i}}$ è la corrente passante per ${\displaystyle R_{i}}$ e ${\displaystyle G_{i}={\frac {1}{R_{i}}}}$ è la conduttanza della resistenza ${\displaystyle i}$

${\displaystyle I_{1}={\frac {V_{1}-V_{3}}{R_{1}}}=G_{1}(V_{1}-V_{3})}$

${\displaystyle I_{2}={\frac {V_{1}-V_{2}}{R_{2}}}=G_{2}(V_{1}-V_{2})}$

${\displaystyle I_{3}={\frac {V_{2}-V_{3}}{R_{3}}}=G_{3}(V_{2}-V_{3})}$

${\displaystyle I_{4}={\frac {V_{2}}{R_{4}}}=G_{4}V_{2}}$

applicando la Legge di Kirchhoff ai nodi sappiamo che

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}+J_{1}&-I_{1}&-I_{2}&=&0\\+I_{2}&-I_{3}&-I_{4}&=&0\\+J_{2}&+I_{1}&+I_{3}&=&0\\\end{matrix}}\right.}$

che combinato con le relazioni trovate prima per le correnti incognite

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}J_{1}&-G_{1}(V_{1}-V_{3})&-G_{2}(V_{1}-V_{2})&=&0\\G_{2}(V_{1}-V_{2})&-G_{3}(V_{2}-V_{3})&-G_{4}V_{2}&=&0\\J_{2}&G_{1}(V_{1}-V_{3})&G_{3}(V_{2}-V_{3})&=&0\\\end{matrix}}\right.}$

Riordinando il sistema per ${\displaystyle V_{1},V_{2},V_{3}}$

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}(-G_{1}-G_{2})V_{1}&+G_{2}V_{2}&+G_{1}V_{3}&=&-J_{1}\\(G_{2})V_{1}&(-G_{2}-G_{3}-G_{4})V_{2}&+G_{3}V_{3}&=&0\\G_{1}V_{1}&+G_{3}V_{2}&(-G_{1}-G_{3})V_{3}&=&-J_{2}\\\end{matrix}}\right.}$

queste sono tre equazioni linearmente indipendenti di tre variabili. Non resta che risolvere il sistema e trovare le tensioni ai nodi da cui si ricavano tutte le correnti incognite. In regime sinusoidale il metodo è analogo: utilizza il calcolo simbolico e le ammettenze invece delle conduttanze.

Caso generale

La rete ha n nodi, siano ${\displaystyle V_{1},V_{2}...V_{n-1}}$ le tensioni ai nodi.

Il metodo dei potenziali ai nodi consiste nel risolvere il sistema in forma matriciale

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots &a_{1,(n-1)}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots &a_{2,(n-1)}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{(n-1),1}&a_{(n-1),2}&\cdots &a_{(n-1),(n-1)}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}V_{1}\\V_{2}\\\vdots \\V_{n-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{bmatrix}}}$

dove

${\displaystyle a_{i,i}=+\sum }$ conduttanze che convergono al nodo ${\displaystyle i}$

${\displaystyle i\neq j,a_{i,j}=-\sum }$ conduttanze tra il nodo ${\displaystyle i}$ e il nodo ${\displaystyle j}$

${\displaystyle b_{i}=+\sum }$ correnti dei generatori di corrente che convergono al nodo ${\displaystyle i}$

Metodo dei potenziali ai nodi modificato

Esiste un'estensione al metodo dei potenziali ai nodi che permette di risolvere circuiti con generatori ideali di tensione; tale metodo però richiede la soluzione di un sistema di ${\displaystyle (N-1)+E}$ equazioni, dove ${\displaystyle E}$ è il numero di generatori ideali di tensione, per cui è vantaggioso fintanto che ${\displaystyle E<L-2(N-1)}$ , visto che le equazioni di Kirchhoff delle tensioni sono ${\displaystyle L-(N-1)}$ e le equazioni dei potenziali ai nodi sono ${\displaystyle N-1}$.

Esempio

Per prima cosa è conveniente sostituire tutti i generatori di tensione reali (cioè in serie con una resistenza) con i rispettivi generatori equivalenti di Norton, nel nostro caso il nuovo generatore ${\displaystyle J_{2}={\frac {E_{1}}{R_{3}}}}$

ora si scrivono tutte le equazioni ai nodi in funzione delle tensioni ${\displaystyle V_{1},V_{2},V_{3}}$ e della corrente incognita ${\displaystyle I_{E_{2}}}$ che attraversa il generatore ${\displaystyle E_{2}}$. A queste equazioni va aggiunta l'equazione che lega la tensione generata da ${\displaystyle E_{2}}$ con i potenziali ai suoi capi.

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}J_{1}&-G_{4}(V_{1}-V_{2})&-G_{5}(V_{1}-V_{3})&=&0\\G_{4}(V_{1}-V_{2})&-G_{2}V_{2}&-I_{E_{2}}&=&0\\G_{5}(V_{1}-V_{3})&+I_{E_{2}}&-J_{2}&-G_{3}V_{3}&=&0\\V_{3}&-V_{2}&=&E_{2}\\\end{matrix}}\right.}$

riordinando per ${\displaystyle V_{1},V_{2},V_{3},I_{E_{2}}}$ e scrivendo in forma matriciale

${\displaystyle {\begin{bmatrix}-G_{4}-G_{5}&G_{4}&G_{5}&0\\G_{4}&-G_{2}-G_{4}&0&-1\\G_{5}&0&-G_{3}-G_{5}&1\\0&-1&1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}V_{1}\\V_{2}\\V_{3}\\I_{E_{2}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-J_{1}\\0\\J_{2}\\E_{2}\end{bmatrix}}}$

e non resta che risolvere il sistema.

Voci correlate

• Metodo delle maglie

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