Misura regolare

In matematica, una misura regolare su uno spazio topologico è una misura tale per cui ogni insieme misurabile può essere approssimato con un insieme misurabile aperto e con un insieme misurabile compatto.

Sia ${\displaystyle (X,T)}$ uno spazio topologico e ${\displaystyle \Sigma }$ una sigma-algebra su ${\displaystyle X}$. Detta ${\displaystyle \mu }$ una misura su ${\displaystyle (X,\Sigma )}$, un insieme misurabile ${\displaystyle A\subset X}$ è internamente regolare se:

${\displaystyle \mu (A)=\sup\{\mu (F)|F\subseteq A\}}$

con ${\displaystyle F}$ compatto e misurabile, ed è esternamente regolare se:

${\displaystyle \mu (A)=\inf\{\mu (G)|G\supseteq A\}}$

con ${\displaystyle G}$ aperto e misurabile.

• Una misura è detta misura internamente regolare se ogni insieme misurabile è internamente regolare. Alcuni autori definiscono una misura internamente regolare se ogni insieme aperto misurabile è internamente regolare.
• Una misura è detta misura esternamente regolare se ogni insieme misurabile è esternamente regolare.

Una misura è una misura regolare se è esternamente regolare e internamente regolare.

• La misura di Lebesgue sulla retta reale è regolare.
• Ogni misura di probabilità di Borel su qualsiasi spazio di Hausdorff localmente compatto con una base di insiemi numerabile per la sua topologia, o su uno spazio metrico compatto, o su uno spazio di Radon, è regolare.

• (EN) Patrick Billingsley, Convergence of Probability Measures, New York, John Wiley & Sons, Inc., 1999, ISBN 0-471-19745-9.
• (EN) K. R. Parthasarathy, Probability measures on metric spaces, AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, 2005, p. xii+276, ISBN 0-8218-3889-X. MR 2169627
• (EN) R. M. Dudley, Real Analysis and Probability, Chapman & Hall, 1989.

• Insieme aperto
• Misura (matematica)
• Misura di Radon
• Spazio compatto

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