Modello di Klein

Il V postulato della geometria iperbolica nel modello di Klein.

Il modello di Klein è un modello di geometria iperbolica, introdotto da Eugenio Beltrami[1] per dimostrare l'indipendenza del V postulato di Euclide dai primi quattro. La descrizione del modello come spazio metrico è dovuta successivamente a Arthur Cayley[2] ed approfondita successivamente da Felix Klein[3].

Come il disco di Poincaré, il modello di Klein è una palla n {\displaystyle n} -dimensionale. La geometria è definita però in modo differente: le geodetiche nel modello di Klein sono infatti segmenti e non archi di circonferenza. La maggiore semplicità nella descrizione delle geodetiche è però controbilanciata da una maggiore complicazione nella descrizione degli angoli fra queste: il modello di Klein non è infatti un modello conforme, gli angoli fra rette non sono cioè quelli usuali del piano euclideo.

Definizione

Il modello di Klein è un modello di geometria iperbolica definito sulla palla n {\displaystyle n} -dimensionale

B n = { x ∈ R n   |   | x | < 1 } {\displaystyle B^{n}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\ |\ |x|<1\}}

dotata di una geometria diversa da quella euclidea. Tale geometria può essere introdotta in vari modi. La dimensione n {\displaystyle n} è arbitraria, ma la più studiata è senza dubbio la dimensione n = 2 {\displaystyle n=2} : in questo caso lo spazio è veramente un disco (senza il bordo), centrato nell'origine e di raggio unitario.

Distanza

La distanza fra due punti è definita nel modo seguente. Siano u {\displaystyle u} e v {\displaystyle v} due punti del disco. Siano u ′ {\displaystyle u'} e v ′ {\displaystyle v'} i punti di intersezione della retta r {\displaystyle r} passante per u {\displaystyle u} e v {\displaystyle v} con il bordo del disco

∂ B n = { x ∈ R n   |   | x | = 1 } . {\displaystyle \partial B^{n}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\ |\ |x|=1\}.}

I punti u ′ , u , v , v ′ {\displaystyle u',u,v,v'} giacciono con questo ordine sulla retta r {\displaystyle r} . La distanza fra u {\displaystyle u} e v {\displaystyle v} è

d ( u , v ) = 1 2 ln ⁡ ( b ⁡ ( v ′ , u ′ , u , v ) ) {\displaystyle d(u,v)={\frac {1}{2}}\ln {\big (}\operatorname {b} (v',u',u,v){\big )}}

ovvero il logaritmo naturale del birapporto dei quattro punti. Con questa distanza il modello di Klein è uno spazio metrico.

Note

  1. ^ Eugenio Beltrami, Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante, in Annali. di Mat., ser II, vol. 2, 1868, pp. 232–255, DOI:10.1007/BF02419615.
  2. ^ Arthur Cayley, A Sixth Memoire upon Quantics, in Philosophical Transactions of the Royal Society of London, vol. 159, 1859, pp. 61–91, DOI:10.1098/rstl.1859.0004.
  3. ^ Felix Klein, Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie, in Mathematische Annalen, vol. 4, 1871, pp. 573–625, DOI:10.1007/BF02100583.

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Collegamenti esterni

  • Beltrami, modello di, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013. Modifica su Wikidata
  • (EN) Klein-Beltrami model, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc. Modifica su Wikidata
  • (EN) Eric W. Weisstein, Klein-Beltrami Model, su MathWorld, Wolfram Research. Modifica su Wikidata
Controllo di autoritàGND (DE) 4140078-1
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