Norma operatoriale

In matematica, la norma operatoriale di un operatore lineare è la norma definita sullo spazio degli operatori limitati lineari tra spazi vettoriali normati.

Definizione

Considerando due spazi normati V {\displaystyle V} e W {\displaystyle W} sul medesimo campo R {\displaystyle \mathbb {R} } o C {\displaystyle \mathbb {C} } , una trasformazione lineare A : V → W {\displaystyle A:V\to W} è continua se e solo se esiste un numero reale c {\displaystyle c} tale per cui:

‖ A v ‖ W ≤ c ‖ v ‖ V ∀ v ∈ V {\displaystyle \|Av\|_{W}\leq c\|v\|_{V}\quad \forall v\in V}

Intuitivamente, l'operatore A {\displaystyle A} non "allunga" mai i vettori su cui agisce di un fattore maggiore di c {\displaystyle c} . In questo modo, l'immagine di un insieme limitato è limitata. Da questo fatto segue che gli operatori lineari continui sono anche detti operatori limitati.

La norma operatoriale è definita considerando il più piccolo c {\displaystyle c} tale per cui la precedente uguaglianza vale per ogni v {\displaystyle v} :

‖ A ‖ o p = min { c ≥ 0 : ‖ A v ‖ ≤ c ‖ v ‖  per ogni  v ∈ V } {\displaystyle \|A\|_{op}=\min\{c\geq 0:\|Av\|\leq c\|v\|{\mbox{ per ogni }}v\in V\}}

dove il minimo esiste sempre grazie al fatto che tale insieme è chiuso, limitato e non vuoto.

Si può mostrare che le seguenti definizioni sono equivalenti a quella data:

‖ A ‖ o p = sup { ‖ A v ‖ : v ∈ V  con  ‖ v ‖ ≤ 1 } = sup { ‖ A v ‖ : v ∈ V  con  ‖ v ‖ < 1 } = sup { ‖ A v ‖ : v ∈ V  con  ‖ v ‖ = 1 } = sup { ‖ A v ‖ ‖ v ‖ : v ∈ V  con  v ≠ 0 } {\displaystyle {\begin{aligned}\|A\|_{op}&=\sup\{\|Av\|:v\in V{\mbox{ con }}\|v\|\leq 1\}\\&=\sup\{\|Av\|:v\in V{\mbox{ con }}\|v\|<1\}\\&=\sup\{\|Av\|:v\in V{\mbox{ con }}\|v\|=1\}\\&=\sup \left\{{\frac {\|Av\|}{\|v\|}}:v\in V{\mbox{ con }}v\neq 0\right\}\end{aligned}}}

Proprietà

La norma operatoriale è una norma definita sullo spazio degli operatori limitati da V {\displaystyle V} in W {\displaystyle W} , che significa:

  • ‖ A ‖ o p ≥ 0 {\displaystyle \|A\|_{op}\geq 0} e ‖ A ‖ o p = 0 {\displaystyle \|A\|_{op}=0} se e solo se A = 0 {\displaystyle A=0} .
  • Si verifica:
‖ a A ‖ o p = | a | ‖ A ‖ o p ∀ a {\displaystyle \|aA\|_{op}=|a|\|A\|_{op}\quad \forall a}
dove a {\displaystyle a} è uno scalare.
  • Valgono le disuguaglianze:
‖ A + B ‖ o p ≤ ‖ A ‖ o p + ‖ B ‖ o p ‖ A v ‖ ≤ ‖ A ‖ o p ‖ v ‖ ∀ v ∈ V {\displaystyle \|A+B\|_{op}\leq \|A\|_{op}+\|B\|_{op}\qquad \|Av\|\leq \|A\|_{op}\|v\|\quad \forall v\in V}

Se V {\displaystyle V} , W {\displaystyle W} e X {\displaystyle X} sono spazi normati sullo stesso campo e A : V → W {\displaystyle A:V\to W} , B : W → X {\displaystyle B:W\to X} sono operatori limitati, allora:

‖ B A ‖ o p ≤ ‖ B ‖ o p ‖ A ‖ o p {\displaystyle \|BA\|_{op}\leq \|B\|_{op}\|A\|_{op}}

Per gli operatori limitati su V {\displaystyle V} questo implica che la moltiplicazione tra operatori è continua.

Dalla definizione segue inoltre che se una successione di operatori converge nella norma operatoriale allora converge uniformemente su insiemi limitati.

Operatori in spazi di Hilbert

Sia H {\displaystyle H} uno spazio di Hilbert reale e A : H → H {\displaystyle A:H\to H} un operatore lineare limitato. Allora si ha:

‖ A ‖ o p = ‖ A ∗ ‖ o p {\displaystyle \|A\|_{op}=\|A^{*}\|_{op}}

e inoltre:

‖ A ∗ A ‖ o p = ‖ A ‖ o p 2 {\displaystyle \|A^{*}A\|_{op}=\|A\|_{op}^{2}}

dove A ∗ {\displaystyle A^{*}} è l'operatore aggiunto di A {\displaystyle A} (che in uno spazio euclideo con il prodotto scalare standard è rappresentato dalla matrice trasposta coniugata di A {\displaystyle A} ).

In generale, il raggio spettrale ρ ( A ) {\displaystyle \rho (A)} di A {\displaystyle A} è limitato dalla norma operatoriale di A {\displaystyle A} :

ρ ( A ) ≤ ‖ A ‖ o p {\displaystyle \rho (A)\leq \|A\|_{op}}

Quando una matrice N {\displaystyle N} è normale la sua forma canonica di Jordan è diagonale, in accordo con il teorema spettrale. In tal caso è semplice vedere che:

ρ ( N ) = ‖ N ‖ o p {\displaystyle \rho (N)=\|N\|_{op}}

Il teorema spettrale può essere esteso a operatori normali in generale, e la precedente uguaglianza vale per ogni operatore normale limitato N {\displaystyle N} . Lo spazio degli operatori limitati su H {\displaystyle H} con la topologia indotta dalla norma operatoriale non è separabile. L'insieme degli operatori limitati su uno spazio di Hilbert, insieme con la norma operatoriale e l'operazione di aggiuntezza, produce una C*-algebra.

Bibliografia

  • John B. Conway, A course in functional analysis, New York, Springer-Verlag, 1990, p. 67, ISBN 0-387-97245-5.

Voci correlate

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