Numero primo di Newman-Shanks-Williams

In matematica, un numero primo di Newman-Shanks-Williams (spesso abbreviato in primo di NSW) è un particolare tipo di numero primo. Un numero primo è un numero primo di Newman-Shanks-Williams se può essere scritto nella forma

S 2 m + 1 = ( 1 + 2 ) 2 m + 1 + ( 1 − 2 ) 2 m + 1 2 . {\displaystyle S_{2m+1}={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{2m+1}+(1-{\sqrt {2}})^{2m+1}}{2}}.}

I primi di NSW furono descritti per la prima volta da Newman, Shanks e Williams nel 1981 durante lo studio di gruppi finiti.

I primi di NSW più piccoli sono 7, 41, 239, 9 369 319, 63 018 038 201, …[1], corrispondenti agli indici 3, 5, 7, 19, 29, …[2].

La successione S {\displaystyle S} cui si fa riferimento nella formula può essere descritta nella seguente relazione di ricorrenza:

S 0 = 1 , {\displaystyle S_{0}=1,}
S 1 = 1 , {\displaystyle S_{1}=1,}
S n = 2 S n − 1 + S n − 2 , per ogni  n ≥ 2. {\displaystyle S_{n}=2S_{n-1}+S_{n-2},\qquad {\mbox{per ogni }}n\geq 2.}

I primi termini della sequenza sono 1, 1, 3, 7, 17, 41, 99, ...[3]. Questi numeri appaiono anche nella frazione continua convergente a 2 . {\displaystyle {\sqrt {2}}.}

Note

  1. ^ (EN) Sequenza A088165, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
  2. ^ (EN) Sequenza A005850, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
  3. ^ (EN) Sequenza A001333, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.

Bibliografia

  • (EN) M. Newman, D. Shanks e H. C. Williams, Simple groups of square order and an interesting sequence of primes, in Acta Arithmetica, vol. 2, 1980/81 (38), pp. 129-140, ISSN 0065-1036 (WC · ACNP).

Collegamenti esterni

  • (EN) The Prime Glossary: NSW number, su primes.utm.edu.
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