Retta proiettiva

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In matematica, e più precisamente in geometria proiettiva, la retta proiettiva è un'estensione della retta, ottenuta aggiungendo il "punto all'infinito".

Nel caso della retta reale, si distingue dalla retta estesa, che è ottenuta aggiungendo due punti all'infinito, uno per ogni verso: $+\infty$ e $-\infty$ .

A differenza della retta estesa, che è definita soltanto per i numeri reali, il concetto di retta proiettiva si applica poi su qualsiasi campo (ad esempio, il campo dei complessi), ed è la versione 1-dimensionale del concetto più generale di spazio proiettivo.

Definizione

Una definizione informale di retta proiettiva, dipendente da un campo $K$ , potrebbe essere data aggiungendo semplicemente un punto a $K$ , chiamato "infinito" o $\infty$ . Una definizione di questo tipo non mostra però come questo nuovo punto debba essere considerato nella nuova struttura: si sceglie quindi (come in tutti gli spazi proiettivi) una definizione più formale ed omogenea, apparentemente molto diversa, che considera subito tutti i punti allo stesso livello. Le due descrizioni arrivano quindi a coincidere al momento in cui si deciderà che un dato punto è "quello all'infinito".

Quoziente

Sia $K$ un campo. La retta proiettiva su $K$ è definita a partire dal piano

K^{2}=\{(x,y)\ |\ x,y\in K\}

rimuovendo l'origine $(0,0)$ e quozientando per la relazione d'equivalenza

(x_{1},y_{1})\sim (\lambda x_{1},\lambda y_{1})

che identifica due punti ottenuti l'uno dall'altro tramite riscalamento per un fattore reale non nullo $\lambda$ . In altre parole, identifica tutti i punti presenti su ogni singola retta passante per l'origine, esclusa l'origine stessa. Formalmente:

\mathbb {P} ^{1}(K)={\big (}K^{2}\setminus \{(0,0)\}{\big )}/\sim .

Coordinate omogenee

Come in ogni spazio proiettivo, ogni punto della retta proiettiva è quindi identificato da una coppia di coordinate omogenee

P=[x_{0},x_{1}]\,\!

dove si intende che moltiplicando entrambi i valori $x_{0}$ e $x_{1}$ per un numero $\lambda \neq 0$ si ottiene lo stesso punto $P$ :

P=[x_{0},x_{1}]=[\lambda x_{0},\lambda x_{1}].\,\!

Punto all'infinito

Usando queste coordinate, è possibile ricavare la descrizione più familiare di retta proiettiva come unione di una retta normale $K$ e di un "punto all'infinito". Infatti

\mathbb {P} ^{1}(K)=\{[1,0]\}\cup \{[x,1]\ |\ x\in K\}

poiché a meno di riscalamento ogni coppia $[x_{0},x_{1}]$ può essere espressa unicamente in uno dei modi descritti. In questa descrizione, il "punto all'infinito" è $[1,0]$ . Ogni punto della retta proiettiva può però essere identificato come "punto all'infinito" in una opportuna descrizione.

Esempi

Caso reale

Se $K=\mathbb {R}$ è il campo dei numeri reali, la retta proiettiva è ottenuta aggiungendo un punto all'infinito alla retta reale. Dal punto di vista topologico, lo spazio che si ottiene è una circonferenza.

Caso complesso

Il caso complesso risulta essere di notevole interesse in matematica e in geometria. La retta proiettiva complessa $\mathbb {P} ^{1}(\mathbb {C} )$ è ottenuta aggiungendo un punto al piano complesso. Topologicamente, come si evince dalla proiezione stereografica, è una sfera, detta sfera di Riemann. La sfera di Riemann è un oggetto importante, che ha molti collegamenti con vari ambiti della geometria: è centrale infatti sia nella geometria proiettiva che nella differenziale.

Campi finiti

La definizione è ovviamente valida anche nel caso in cui il campo $K$ sia un campo finito, con $n$ elementi. In questo caso, la retta proiettiva consta di $n+1$ elementi.