Semianello

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Un semianello è una struttura algebrica formata da un insieme ${\displaystyle A}$ munito di due operazioni binarie, dette somma e prodotto e denotate rispettivamente con ${\displaystyle +}$ e ${\displaystyle \cdot }$, le quali verifichino le seguenti proprietà:

1. Somma e prodotto sono operazioni associative: si ha cioè ${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$ e ${\displaystyle (ab)c=a(bc)}$ per ogni terna ${\displaystyle (a,b,c)}$ di elementi di ${\displaystyle A}$;
2. Esiste un (unico) elemento neutro per la somma, indicato con ${\displaystyle 0}$. Ciò significa che comunque si scelga ${\displaystyle a}$ in ${\displaystyle A}$, vale ${\displaystyle a+0=0+a=a}$;
3. Il prodotto è distributivo rispetto alla somma, vale a dire ${\displaystyle (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c}$ e ${\displaystyle a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c}$ per ogni scelta di ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ e ${\displaystyle c}$ in ${\displaystyle A}$.
4. Per ogni ${\displaystyle a}$ in ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle 0\cdot a=a\cdot 0=0}$.

Si noti che la prima proprietà dice esattamente che ${\displaystyle \langle A,+\rangle }$ e ${\displaystyle \langle A,\cdot \rangle }$ sono semigruppi, mentre la seconda proprietà specifica più completamente che ${\displaystyle \langle A,+\rangle }$ è anche un monoide.

Esempi di semianelli

• Tutti gli pseudoanelli.
• Tutti gli anelli.
• L'insieme ${\displaystyle P(S)}$ delle parti di un insieme ${\displaystyle S}$, munito delle operazioni di unione (somma) e intersezione (prodotto). Lo 0 è in questo caso l'insieme vuoto.
• L'insieme dei linguaggi sopra un alfabeto munito delle operazioni di unione e giustapposizione di linguaggi.
• L'insieme delle relazioni binarie entro un dato insieme munito delle operazioni di unione e di prodotto di composizione di relazioni.

Voci correlate

• Altre strutture algebriche

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Semianello, su MathWorld, Wolfram Research.

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