Semigruppo C0

In matematica, un semigruppo C₀ è una generalizzazione della funzione esponenziale. Analogamente alle funzioni esponenziali, che forniscono soluzioni di equazioni differenziali ordinarie a coefficienti costanti in ${\displaystyle \mathbb {R} }$, i semigruppi C₀ forniscono soluzioni di equazioni differenziali ordinarie a coefficienti costanti in spazi di Banach generici. Questo tipo di equazioni compare ad esempio nello studio delle equazioni differenziali alle derivate parziali.

Un semigruppo C₀ su uno spazio di Banach ${\displaystyle X}$ è una mappa ${\displaystyle T:\mathbb {R} _{+}\to L(X)}$ (l'insieme degli operatori lineari continui da ${\displaystyle X}$ in ${\displaystyle X}$) tale che

1. ${\displaystyle T(0)=I}$,   (operatore identità su ${\displaystyle X}$)
2. ${\displaystyle \forall t,s\geq 0:\ T(t+s)=T(t)T(s)}$
3. ${\displaystyle \forall x_{0}\in X:\ \|T(t)x_{0}-x_{0}\|\to 0}$, as ${\displaystyle t\downarrow 0}$.

Le prime due condizioni sono di natura algebrica e affermano che ${\displaystyle T}$ è una rappresentazione del semigruppo ${\displaystyle {(\mathbb {R} _{+},+)}}$; l'ultima è topologica ed è equivalente ad affermare che ${\displaystyle T}$ è continua nella topologia operatoriale forte.

Il generatore infinitesimale A di un semigruppo C₀ T è definito come

${\displaystyle A\,x=\lim _{t\downarrow 0}{\frac {1}{t}}\,(T(t)-I)\,x}$

dove esiste il limite. Il dominio di A, D(A), è l'insieme delle x∈X per le quali questo limite esiste; D(A) è un sottospazio lineare e A è lineare sul dominio.^[1] L'operatore A è chiuso, ma non necessariamente limitato, e il dominio è denso in X.^[2]

Il semigruppo C₀ T con generatore A è spesso indicato con il simbolo e^At.

Un semigruppo C₀ uniformemente continuo è un semigruppo C₀ T tale che vale

${\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}\|T(t)-I\|=0}$.

In questo caso, il generatore infinitesimale A di T è limitato e abbiamo

${\displaystyle {\mathcal {D}}(A)=X}$

e

${\displaystyle T(t)=e^{At}:=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {A^{k}}{k!}}t^{k}.}$

Al contrario, ogni operatore limitato

${\displaystyle A\colon X\to X}$

è il generatore infinitesimale di un semigruppo C₀ uniformemente continuo dato da

${\displaystyle T(t):=e^{At}}$.

Un operatore lineare A è quindi il generatore infinitesimale di un semigruppo C₀ uniformemente continuo se e solo se A è un operatore lineare limitato.^[3] Se X è uno spazio di Banach finito-dimensionale, allora ogni semigruppo C₀ è uniformemente continuo. Per un semigruppo C₀ non uniformemente continuo il generatore infinitesimale non è limitato. In questo caso ${\displaystyle e^{At}}$ potrebbe non convergere.

Si consideri il problema di Cauchy astratto

${\displaystyle u'(t)=Au(t),~~~u(0)=x,}$

dove A è un operatore chiuso su uno spazio di Banach X e x∈X. Sono possibili due definizioni di soluzione del problema:

• una funzione differenziabile con continuità u:[0,∞)→X è detta una soluzione classica del problema di Cauchy se u(t) ∈ D(A) per ogni t > 0 e soddisfa la condizione iniziale,
• una funzione continua u:[0,∞) → X è detta una soluzione debole del problema di Cauchy se

${\displaystyle \int _{0}^{t}u(s)\,ds\in D(A){\text{ e }}A\int _{0}^{t}u(s)\,ds=u(t)-x.}$

Ogni soluzione classica è anche soluzione debole. Una soluzione debole è una soluzione classica se e solo se è differenziabile con continuità.^[4]

Il seguente teorema collega i semigruppi C₀ con i problemi di Cauchy astratti.

Teorema^[5] Sia A un operatore chiuso su uno spazio di Banach X. Le seguenti affermazioni sono equivalenti:

1. per ogni x∈X esiste un'unica soluzione debole del problema di Cauchy astratto,
2. l'operatore A genera un semigruppo C₀,
3. l'insieme risolvente di A è non vuoto e per ogni x ∈ D(A) esiste un'unica soluzione classica del problema di Cauchy.

Quando valgono le precedenti affermazioni, la soluzione del problema di Cauchy è data da u(t) = T(t)x dove T è il semigruppo C₀ generato da A.

Analogamente allo studio dei problemi di Cauchy, di solito l'operatore lineare A è dato e la domanda è se questo generi o meno un semigruppo C₀. I teoremi che rispondo a questa domanda sono detti teoremi di generazione. Una caratterizzazione completa degli operatori che generano un semigruppo C₀ è data dal Teorema di Hille-Yosida. Di maggiore importanza pratica sono le condizioni (molto più facili da verificare) del Teorema di Lumer-Phillips.

Il growth bound di un semigruppo T è la costante

${\displaystyle \omega _{0}=\inf _{t>0}{\frac {1}{t}}\log \|T(t)\|.}$

È così chiamato in quanto è anche il limite inferiore dell'insieme dei numeri reali ω tali che esiste una costante M (≥ 1) con

${\displaystyle \|T(t)\|\leq Me^{\omega t}}$

per ogni t ≥ 0.

Le seguenti asserzioni sono equivalenti:^[6]

1. Esistono M,ω>0 tali che per ogni t ≥ 0: ${\displaystyle \|T(t)\|\leq M{\rm {e}}^{-\omega t},}$
2. Il growth bound è negativo: ω₀ < 0,
3. Il semigruppo converge a 0 nella topologia operatoriale uniforme: ${\displaystyle \lim _{t\to \infty }\|T(t)\|=0}$,
4. Esiste t₀ > 0 tale che ${\displaystyle \|T(t_{0})\|<1}$,
5. Esiste t₁ > 0 tale che il raggio spettrale di T(t₁) è strettamente minore di 1,
6. Esiste p ∈ [1, ∞) tale che per ogni x∈X: ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\|T(t)x\|^{p}\,dt<\infty }$,
7. Per ogni p ∈ [1, ∞) e ogni x ∈ X: ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\|T(t)x\|^{p}\,dt<\infty .}$

Un semigruppo che soddisfa queste condizioni equivalenti è detto esponenzialmente stabile o uniformemente stabile (in letteratura una qualsiasi tra le prime tre condizioni viene presa come definizione). Il fatto che le condizioni L^p sono equivalenti alla stabilità esponenziale è il teorema di Datko-Pazy.

Nel caso in cui X è uno spazio di Hilbert un'altra condizione in termini dell'operatore risolvente del generatore è equivalente alla stabilità esponenziale:^[7] ogni λ con parte reale positiva appartiene all'insieme risolvente di A e l'operatore risolvente è uniformemente limitato sul semipiano destro, i.e. (λI − A)⁻¹ appartiene allo spazio di Hardy ${\displaystyle H^{\infty }(\mathbb {C} _{+};L(X))}$ (teorema di Gearhart-Pruss).

Lo spectral bound di un operatore A è la costante

${\displaystyle s(A):=\sup\{{\rm {Re}}\lambda :\lambda \in \sigma (A)\}}$,

con la convenzione che s(A) = −∞ se lo spettro di A è vuoto.

Il growth bound di un semigruppo e lo spectral bound del suo generatore soddisfano la seguente relazione: ^[8] s(A)≤ω₀(T).
Ci sono esempi^[9] in cui s(A) < ω₀(T). La condizione s(A) = ω₀(T) è detta spectral determined growth condition.

Un semigruppo C₀ T è detto asintoticamente stabile se per ogni x ∈ X: ${\displaystyle \lim _{t\to \infty }\|T(t)x\|=0}$.

La stabilità esponenziale implica la stabilità asintotica, ma l'inverso non è generalmente vero se X è infinito-dimensionale (è vero per X finito-dimensionale).

Le seguenti condizioni sufficienti per la stabilità esponenziale sono contenute nel teorema di Arendt-Batty-Lyubich-Phong:^[10] assumiamo che

1. T è limitato: esiste M ≥ 1 tale che ${\displaystyle \|T(t)\|\leq M}$,
2. A non ha spettro residuo sull'asse immaginario, e
3. Lo spettro di A contenuto nell'asse immaginario è numerabile.

Allora T è asintoticamente stabile.

• E Hille, R S Phillips: Functional Analysis and Semi-Groups. American Mathematical Society, 1975.
• R F Curtain, H J Zwart: An introduction to infinite dimensional linear systems theory. Springer Verlag, 1995.
• E.B. Davies: One-parameter semigroups (L.M.S. monographs), Academic Press, 1980, isbn 0-12-206280-9.
• Klaus-Jochen Engel e Rainer Nagel, One-parameter semigroups for linear evolution equations, Springer, 2000.
• Wolfgang Arendt, Charles Batty, Matthias Hieber e Frank Neubrander, Vector-valued Laplace Transforms and Cauchy Problems, Birkhauser, 2001.
• Olof Staffans, Well-posed linear systems, Cambridge University Press, 2005.
• Zheng-Hua Luo, Bao-Zhu Guo e Omer Morgul, Stability and Stabilization of Infinite Dimensional Systems with Applications, Springer, 1999.
• Wolfgang Arendt e Charles Batty, Tauberian theorems and stability of one-parameter semigroups, Transactions of the American mathematical society, 1988.
• Yu Lyubich e Vu Quoc Phong, Asymptotic stability of linear differential equations in Banach spaces, Studia Mathematica, 1988.
• Jonathan R. Partington, Linear operators and linear systems, London Mathematical Society Student Texts, n. 60, Cambridge University Press, 2004, ISBN 0-521-54619-2.

• Teorema di Hille-Yosida