Tabella di contingenza

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Le tabelle di contingenza sono un particolare tipo di tabelle a doppia entrata (cioè tabelle con etichette di riga e di colonna), utilizzate in statistica per rappresentare e analizzare le relazioni tra due o più variabili. In esse si riportano le frequenze congiunte delle variabili.

Esempi

Il caso più semplice è quello delle tabelle tetracoriche, in cui ciascuna delle due variabili assume solo due possibili valori, per esempio:

in cui, tra le 100 persone esaminate, 30 hanno capelli biondi, 40 hanno occhi chiari, e 21 hanno capelli biondi e occhi chiari. Da questi dati è possibile ricavare i dati restanti della tabella.

Utilizzando le tabelle di contingenza e operando specifici calcoli su di esse, si può arrivare a determinare la dipendenza o indipendenza tra le due variabili considerate, ad esempio in base al valore assunto dall'indice di contingenza quadratico ${\displaystyle \chi ^{2}}$ (di Pearson).

Le due variabili considerate sono di tipo quantitativo discreto o qualitativo. Indicando tali variabili con ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$, e rispettivamente con ${\displaystyle x_{i}\;(i=1,2,\dots ,h)}$ e ${\displaystyle y_{j}\;(j=1,2,\dots ,k)}$ le modalità rilevate per le due variabili, a ogni coppia ${\displaystyle (x_{i},y_{j})}$ si fa corrispondere nella tabella la sua frequenza associata ${\displaystyle n_{i,j}}$, cioè il numero di elementi, tra gli ${\displaystyle n}$ della popolazione, che possiedono contemporaneamente la modalità ${\displaystyle x_{i}}$ di ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle y_{j}}$ di ${\displaystyle Y}$.

Y X	${\displaystyle y_{1}}$	${\displaystyle y_{2}}$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle y_{j}}$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle y_{k}}$	Totale
${\displaystyle x_{1}}$	${\displaystyle n_{1,1}}$	${\displaystyle n_{1,2}}$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle n_{1,j}}$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle n_{1,k}}$	${\displaystyle n_{1,\cdot }}$
${\displaystyle x_{2}}$	${\displaystyle n_{2,1}}$	${\displaystyle n_{2,2}}$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle n_{2,j}}$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle n_{2,k}}$	${\displaystyle n_{2,\cdot }}$
${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle \ddots }$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle \dots }$
${\displaystyle x_{i}}$	${\displaystyle n_{i,1}}$	${\displaystyle n_{i,2}}$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle n_{i,j}}$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle n_{i,k}}$	${\displaystyle n_{i,\cdot }}$
${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle \ddots }$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle \dots }$
${\displaystyle x_{h}}$	${\displaystyle n_{h,1}}$	${\displaystyle n_{h,2}}$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle n_{h,j}}$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle n_{h,k}}$	${\displaystyle n_{h,\cdot }}$
Totale	${\displaystyle n_{\cdot ,1}}$	${\displaystyle n_{\cdot ,2}}$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle n_{\cdot ,j}}$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle n_{\cdot ,k}}$	${\displaystyle n}$

dove

• ${\displaystyle n_{i,\cdot }=\sum _{j=1}^{k}n_{i,j}\;(i=1,2,\dots ,h)}$ rappresenta le frequenze marginali assolute di ${\displaystyle X}$,
• ${\displaystyle n_{\cdot ,j}=\sum _{i=1}^{h}n_{i,j}\;(j=1,2,\dots ,k)}$ rappresenta le frequenze marginali assolute di ${\displaystyle Y}$.

Sommando tutte le frequenze assolute presenti nella tabella, troveremo la numerosità ${\displaystyle n}$ della popolazione:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{h}\sum _{j=1}^{k}n_{i,j}=\sum _{i=1}^{h}n_{i,\cdot }=\sum _{j=1}^{k}n_{\cdot ,j}=n}$

Dalle frequenze assolute ${\displaystyle n_{i,j}}$ si ottengono le frequenze relative ${\displaystyle f_{i,j}}$ calcolando

${\displaystyle f_{i,j}=\left({\frac {n_{i,j}}{n}}\right)}$

Y X	${\displaystyle y_{1}}$	${\displaystyle y_{2}}$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle y_{j}}$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle y_{k}}$	Totale
${\displaystyle x_{1}}$	${\displaystyle f_{1,1}}$	${\displaystyle f_{1,2}}$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle f_{1,j}}$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle f_{1,k}}$	${\displaystyle f_{1,\cdot }}$
${\displaystyle x_{2}}$	${\displaystyle f_{2,1}}$	${\displaystyle f_{2,2}}$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle f_{2,j}}$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle f_{2,k}}$	${\displaystyle f_{2,\cdot }}$
${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle \ddots }$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle \dots }$
${\displaystyle x_{i}}$	${\displaystyle f_{i,1}}$	${\displaystyle f_{i,2}}$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle f_{i,j}}$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle f_{i,k}}$	${\displaystyle f_{i,\cdot }}$
${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle \ddots }$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle \dots }$
${\displaystyle x_{h}}$	${\displaystyle f_{h,1}}$	${\displaystyle f_{h,2}}$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle f_{h,j}}$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle f_{h,k}}$	${\displaystyle f_{h,\cdot }}$
Totale	${\displaystyle f_{\cdot ,1}}$	${\displaystyle f_{\cdot ,2}}$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle f_{\cdot ,j}}$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle f_{\cdot ,k}}$	${\displaystyle 1}$

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