Teorema della base di Hilbert

In matematica, il teorema della base di Hilbert è un risultato dell'algebra commutativa, fondamentale nello studio degli anelli noetheriani. Esso afferma che, se A {\displaystyle A} è noetheriano, allora l'anello dei polinomi A [ x ] {\displaystyle A[x]} è ancora noetheriano; ricorsivamente, questo dimostra che A [ x 1 , … , x n ] {\displaystyle A[x_{1},\ldots ,x_{n}]} , così come ogni A {\displaystyle A} -algebra finitamente generata, è un anello noetheriano.

Il teorema è stato dimostrato per la prima volta da David Hilbert nel 1888 nel caso in cui A {\displaystyle A} è un campo, e poi generalizzato nella forma attuale da Emmy Noether. Una dimostrazione costruttiva (a differenza di quella di Hilbert) fu data da Paul Gordan nel 1900.[1]

Il risultato è anche importante in geometria algebrica, in quanto dimostra che ogni insieme algebrico può essere definito da un numero finito di equazioni polinomiali.

Dimostrazione

Supponiamo per assurdo che A [ x ] {\displaystyle A[x]} non sia noetheriano; allora, esiste un ideale I ⊆ A [ x ] {\displaystyle I\subseteq A[x]} non finitamente generato. Costruiamo una successione p 0 , p 1 , … , p n , … {\displaystyle p_{0},p_{1},\ldots ,p_{n},\ldots } di polinomi nel modo seguente:

  • p 0 {\displaystyle p_{0}} è un elemento di I {\displaystyle I} di grado minimo (tra gli elementi di I {\displaystyle I} );
  • p n {\displaystyle p_{n}} è un elemento di I ∖ ( p 0 , … , p n − 1 ) {\displaystyle I\setminus (p_{0},\ldots ,p_{n-1})} di grado minimo tra gli elementi di I ∖ ( p 0 , … , p n − 1 ) {\displaystyle I\setminus (p_{0},\ldots ,p_{n-1})} .

Sia a i {\displaystyle a_{i}} il coefficiente direttore di p i {\displaystyle p_{i}} , e sia d i {\displaystyle d_{i}} il grado di p i {\displaystyle p_{i}} .

Sia J {\displaystyle J} l'ideale di A {\displaystyle A} generato dagli a i {\displaystyle a_{i}} ; poiché A {\displaystyle A} è noetheriano, J {\displaystyle J} è finitamente generato. In particolare, J {\displaystyle J} è generato da a 0 , … , a N − 1 {\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{N-1}} per un certo intero N {\displaystyle N} .

In particolare, si può scrivere a N = ∑ i = 0 N − 1 e i a i ,   e i ∈ A {\displaystyle a_{N}=\sum _{i=0}^{N-1}e_{i}a_{i},\ e_{i}\in A} ; consideriamo il polinomio

q ( x ) := ∑ i = 0 N − 1 e i x d N − d i p i ( x ) {\displaystyle q(x):=\sum _{i=0}^{N-1}e_{i}x^{d_{N}-d_{i}}p_{i}(x)} .

Per definizione, q ( x ) {\displaystyle q(x)} appartiene a ( p 0 , … , p N − 1 ) {\displaystyle (p_{0},\ldots ,p_{N-1})} ; inoltre, q ( x ) {\displaystyle q(x)} è un polinomio di grado d N {\displaystyle d_{N}} il cui coefficiente direttore è ∑ i = 0 N − 1 e i a i = a N {\displaystyle \sum _{i=0}^{N-1}e_{i}a_{i}=a_{N}} . In particolare, il polinomio

q ( x ) − p N ( x ) {\displaystyle q(x)-p_{N}(x)}

è un polinomio di grado d N − 1 {\displaystyle d_{N}-1} che appartiene a I {\displaystyle I} (perché vi appartengono sia q ( x ) {\displaystyle q(x)} che p N ( x ) {\displaystyle p_{N}(x)} ) ma non a ( p 0 , … , p N − 1 ) {\displaystyle (p_{0},\ldots ,p_{N-1})} (perché vi appartiene q ( x ) {\displaystyle q(x)} ma non p N ( x ) {\displaystyle p_{N}(x)} ). Questo tuttavia contrasta con la scelta di p N {\displaystyle p_{N}} come polinomio di grado minimo in I ∖ ( p 0 , … , p N − 1 ) {\displaystyle I\setminus (p_{0},\ldots ,p_{N-1})} : di conseguenza, I {\displaystyle I} deve essere un ideale finitamente generato, e A [ x ] {\displaystyle A[x]} è un anello noetheriano.

Note

  1. ^ (FR) Paul Gordan, Les invariants des formes binaires, in Journal de mathématiques pures et appliquées 5e série, vol. 6, 1900, pp. 141-156.

Bibliografia

  • (EN) Michael Atiyah e Ian G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Westview Press, 1969, ISBN 0-201-40751-5.
  • (EN) David Eisenbud, Commutative algebra with a view toward algebraic geometry, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8.
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