In analisi funzionale, il teorema della funzione aperta o teorema dell'applicazione aperta, altrimenti noto come teorema di Banach-Schauder, stabilisce che un operatore lineare continuo suriettivo tra spazi di Banach è una funzione aperta.
Enunciato
Sia
un operatore lineare continuo suriettivo tra spazi di Banach
e
. Allora
è una funzione aperta, ovvero se
è un insieme aperto in
, allora
è aperto in
.
Dimostrazione
La dimostrazione fa uso del teorema della categoria di Baire, e si può suddividere in tre parti.
Parte 1
Occorre provare che per ogni
e per ogni
, intorno di
,
è un intorno di
. Per linearità risulta
(
,
), per cui è sufficiente provare l'affermazione per
. Poiché un intorno dello zero contiene necessariamente una palla
, è sufficiente provare che per ogni
esiste un
tale che
. Osserviamo inoltre che
ed anche, per linearità, che
per ogni
.
Per la suriettività di
si ha:
.
Per il teorema della categoria di Baire esiste
tale che:
ha interno non vuoto e pertanto, essendo:
![{\displaystyle {\overline {T(B_{\overline {n}})}}={\overline {n}}{\overline {T(B_{1})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/491499431051bedcf6702a02749c52d571f310dd)
deduciamo che
ha interno non vuoto.
Parte 2
Sia
un aperto di
tale che:
![{\displaystyle W\subseteq {\overline {T(B_{1})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d43a618471fc077f98b36610836ade8b551fdd2)
Ovviamente
contiene lo zero, ma occorre provare che esiste
tale che:
![{\displaystyle B_{\varepsilon }^{Y}\subseteq {\overline {T(B_{1})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/440b0c654a833e937fcff9950759df321da2753a)
Siano
e
. Poiché l'applicazione
è un omeomorfismo, esiste un intorno
di zero in
tale che:
![{\displaystyle V\subseteq -y_{0}+{\overline {T(B_{1})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa9f9d43fd851948089739d377cb754f1753984d)
Si ha:
![{\displaystyle -y_{0}+T(B_{1})=\left\{-y_{0}+Tw,w\in B_{1}\right\}=\left\{T(w-x_{0}),w\in B_{1}\right\}\subseteq T(B_{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/139dd62ff02ffd0b76c532a07518348b698bea4a)
poiché
implica che
. Pertanto abbiamo provato che:
![{\displaystyle V\subseteq -y_{0}+{\overline {T(B_{1})}}\subseteq {\overline {T(B_{2})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c342fbb3bcd05d88eef2f8db0a5bb7fba4297740)
e quindi:
![{\displaystyle {\tilde {V}}\doteq {\frac {1}{2}}V\subseteq {\overline {T(B_{1})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b9fb20f35d45897670492134e0db289644dcf4e)
e
è un intorno di zero in
. Pertanto esiste
tale che:
![{\displaystyle B_{\varepsilon }^{Y}\subseteq {\overline {T(B_{1})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/440b0c654a833e937fcff9950759df321da2753a)
Parte 3
Si vuole provare che
, cosa che conclude la dimostrazione poiché ne segue che
risulta contenuto in
. Sia
. Si scelga
tale che
, cioè
. Per quanto detto in precedenza risulta:
![{\displaystyle B_{\frac {\varepsilon }{2}}^{Y}\subseteq {\overline {T(B_{\frac {1}{2}}^{X})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66f96dab51bebc45232646013df2b0dfe87f899c)
quindi possiamo scegliere
tale che:
, cioè ![{\displaystyle y-Tx_{1}-Tx_{2}\in B_{\frac {\varepsilon }{4}}^{Y}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/556ce60f17c513ac051f8bbb0a5dc121a7dbd5f0)
Iterando il procedimento risulta definita una successione
in
tale che:
e ![{\displaystyle y-\sum _{j=1}^{n}Tx_{j}\in B_{\varepsilon 2^{1-n}}^{Y}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b969366f4dabde1552b324758c6740d73209d8f4)
Risulta:
![{\displaystyle \left\|\sum _{j=n}^{n+p}x_{j}\right\|<2^{2-n}\ \ \forall n,p\in {\textbf {N}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddb3cc49cf993ce31f6f7f004fa1d45c39001f43)
quindi esiste:
![{\displaystyle x=\sum _{j=1}^{\infty }x_{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ae5758703b625983c4ca64efd08d8b3ef9b1f6f)
e si ha:
![{\displaystyle \|x\|\leq \sum _{j=1}^{\infty }\|x_{j}\|<\sum _{j=1}^{\infty }2^{1-j}=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7069be49c8f89e3ded686108eab87820fffb0278)
Quindi
e, per la continuità di
, risulta
. Da ciò segue che
![{\displaystyle {\overline {T(B_{1})}}\ni y=Tx\in T(B_{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd105548b8d8a558413c15ea1dad404b14b9bcaf)
ed il teorema è provato.
Corollari
Il teorema della funzione aperta ha due importanti conseguenze:
- Il teorema della funzione inversa afferma che se
è un operatore lineare continuo e bigettivo tra gli spazi di Banach
e
, allora l'operatore inverso
è anch'esso continuo. - Il teorema del grafico chiuso afferma che se
è un operatore lineare tra gli spazi di Banach
e
, e se per ogni successione
in
tale che
e
segue che
, allora
è continuo.
Bibliografia
- (EN) Krantz, S. G. "The Open Mapping Theorem." §5.2.1 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 73-74, 1999.
- (EN) Zeidler, E. Applied Functional Analysis: Applications to Mathematical Physics. New York: Springer-Verlag, 1995.
- (EN) M. de Wilde, Closed graph theorems and webbed spaces , Pitman (1978)
- (EN) H.H. Schaefer, Topological vector spaces , Springer (1971)
- (EN) H. Jarchow, Locally convex spaces , Teubner (1981)
Voci correlate
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