Teorema di Babuška-Lax-Milgram

In matematica, il teorema di Babuška-Lax-Milgram è un risultato di analisi funzionale che generalizza il lemma di Lax-Milgram e fornisce le condizioni per cui una forma bilineare può essere "invertita" per mostrare l'esistenza e l'unicità di una soluzione debole per determinate condizioni al contorno.

Il teorema ha rilevanti applicazioni nella teoria delle equazioni differenziali alle derivate parziali, e anche in analisi numerica per lo studio del metodo degli elementi finiti.

Introduzione

Nell'approccio tipico dell'analisi funzionale allo studio delle equazioni alle derivate parziali si utilizza frequentemente la struttura di spazio vettoriale dell'insieme delle possibili soluzioni, ad esempio spesso si ha a che fare con spazi di Sobolev. Si considerino due spazi normati $U$ e $V$ con i loro duali continui $U^{*}$ e $V^{*}$ , dove spesso $U$ è lo spazio delle possibili soluzioni. Dato un operatore differenziale parziale $\Lambda :U\to V^{*}$ ed una funzione conosciuta $f\in V^{*}$ , l'obiettivo è trovare un vettore $u\in U$ tale che:

\Lambda u=f

Nella formulazione debole si richiede che questa equazione valga soltanto anche per tutti gli altri elementi di $V$ . Per "testare" queste funzioni si utilizza una forma bilineare $B:U\times V\to \mathbb {R}$ che "codifica" l'operatore differenziale in modo che una soluzione al problema debole si ottiene trovando $u\in U$ tale che:

B(u,v)=\langle f,v\rangle \qquad \forall v\in V

Per ottenere il risultato del 1954 di Lax e Milgram bisogna fare in modo, specificando sufficienti condizioni al contorno, che tale formulazione debole abbia una soluzione unica e che dipende con continuità dalla funzione data $f\in V^{*}$ . Nello specifico, $U=V$ deve essere uno spazio di Hilbert e $B$ è una funzione continua e fortemente coercitiva, cioè:

|B(u,u)|\geq c\|u\|^{2}

per qualche costante $c>0$ e per ogni $u\in U$ .

Ad esempio, nella soluzione dell'equazione di Poisson su un dominio aperto e limitato $\Omega \in \mathbb {R} ^{n}$ :

{\begin{cases}-\Delta u(x)=f(x)&x\in \Omega \\u(x)=0&x\in \partial \Omega \end{cases}}

lo spazio $U$ può essere preso come lo spazio di Sobolev $H_{0}^{1}(\Omega )$ con duale $H^{-1}(\Omega )$ . La forma bilineare $B$ associata a $-\Delta$ è il prodotto interno in $L^{2}$ delle derivate:

B(u,v)=\int _{\Omega }\nabla u(x)\cdot \nabla v(x)\,\mathrm {d} x

Quindi la formulazione debole dell'equazione di Poisson, data $f\in L^{2}$ , è trovare $u_{f}$ tale che:

\int _{\Omega }\nabla u_{f}(x)\cdot \nabla v(x)\,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }f(x)v(x)\,\mathrm {d} x\qquad \forall v\in H_{0}^{1}(\Omega )

Enunciato

Nel 1971 Babuška dimostrò la seguente generalizzazione della prima formulazione del lemma di Lax-Milgram, che comincia col fornire la richiesta che $U$ e $V$ siano due spazi di Hilbert reali e $B:U\times V\to \mathbb {R}$ una forma bilineare continua. Sia inoltre $B$ debolmente coercitiva, ovvero per una costante $c>0$ e per tutti gli $u\in U$ si verifica:

\sup _{\|v\|=1}|B(u,v)|\geq c\|u\|

e, per $0\neq v\in V$ si ha:

\sup _{\|u\|=1}|B(u,v)|>0

Allora, per tutte le funzioni $f\in V^{*}$ nel duale $V^{*}$ di $V$ esiste un'unica soluzione $u=u_{f}\in U$ alla formulazione debole del problema:

B(u_{f},v)=\langle f,v\rangle \qquad \forall v\in V

Inoltre, la soluzione dipende con continuità da $f$ :

\|u_{f}\|\leq {\frac {1}{c}}\|f\|

Bibliografia

(EN) Ivo Babuška, Error-bounds for finite element method, in Numerische Mathematik, vol. 16, 1970/1971, pp. 322–333, DOI:10.1007/BF02165003, ISSN 0029-599X (WC · ACNP), MR 0288971.
(EN) Peter D. Lax, Milgram, Arthur N., Parabolic equations, in Contributions to the theory of partial differential equations, Annals of Mathematics Studies, no. 33, Princeton, N. J., Princeton University Press, 1954, pp. 167–190, MR 0067317.