Teorema di Paley-Wiener

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Il teorema di Paley-Wiener, noto anche come criterio di Paley-Wiener, è una relazione matematica che consente di determinare se un sistema lineare tempo invariante è causale o meno. Il teorema consente solo di stabilire la causalità e non dà indicazioni su come rendere causale un sistema che non lo è.

Prende il nome da due matematici, il britannico Raymond E. A. C. Paley (1907 - 1933) e l'americano Norbert Wiener (1894 - 1964) che lo enunciarono nell'ambito delle loro ricerche sulla trasformazione di Fourier per le funzioni analitiche^[1]; successivamente ne emerse il significato applicativo ai fini dello studio dei circuiti elettrici.^[2]

L'applicabilità del teorema di Paley-Wiener richiede come condizione necessaria che

$\int _{-\infty }^{+\infty }\left|H(f)\right|^{2}\,\mathrm {d} f<\infty$

ovvero che la risposta in frequenza del sistema sia quadrato integrabile o assolutamente sommabile.

Se tale condizione è verificata, la condizione necessaria ma non sufficiente per l'applicabilità del teorema di Paley-Wiener è che

$\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\left|ln(\left|H(f)\right|)\right|}{1+(2\pi f)^{2}}}\,\mathrm {d} f<\infty$

In questo caso

$\mathbb {H} (f)=\left|H(f)\right|e^{j\phi (f)}$

è possibile, sotto la verifica delle ipotesi, trovare una $\phi (f)$ per cui il filtro sia causale.

Un tipico campo di applicazione del criterio riguarda i filtri reali. I filtri ideali infatti non sono causali e non possono essere resi tali in quanto la loro risposta in frequenza è nulla su intervalli frequenziali di misura non nulla: questo implica la divergenza del secondo integrale e quindi non sarebbe verificata la condizione necessaria del teorema. Esempi elementari di filtri reali del secondo ordine, del tipo R-C e C-R sono invece causali, perché le loro risposte impulsive rispettano le condizioni del teorema.

Note

^ R. E. A. C. Paley, N. Wiener, Fourier transforms in the complex domain, Amer. Math. Soc. Colloq. Publ., Vol. 19, Amer. Math. Soc , Providence, R. I., 1934; teorema XII. Il libro fu pubblicato a cura di Wiener dopo che Paley era scomparso in un incidente di sci
^ W. L. Root, Contributions of Norbert Wiener to communication theory, Bull. Amer. Math. Soc. 72 (1966), 126-134