Teorema di Zsigmondy

Nella teoria dei numeri, il teorema di Zsigmondy, che prende il nome da Karl Zsigmondy, afferma che se a > b > 0 sono interi coprimi, allora per ogni intero n ≥ 1, esiste un numero primo p (chiamato divisore primitivo primo) che divide aⁿ − bⁿ, ma non divide a^k − b^k per tutti gli interi positivi k < n, con le seguenti eccezioni:

n = 1, a − b = 1; aⁿ − bⁿ = 1 il quale non ha divisori primi.
n = 2, con a + b potenza di due; poiché a² - b² = (a + b)(a¹ - b¹) ed essendo a - b divisibile per 2, a² - b² non può contenere divisori primi diversi da quelli di a - b.
n = 6, a = 2, b = 1; poiché $a^{6}-b^{6}=2^{6}-1^{6}=63=3^{2}\cdot 7$ , ma né 3 né 7 soddisfano la tesi del teorema; infatti, per k = 4, 3 divide $2^{4}-1^{4}=15$ , mentre, per k = 3, 7 divide $2^{3}-1^{3}=7$ .

Questo teorema generalizza quello di Bang, il quale afferma che se n > 1 e n non è uguale a 6, allora 2ⁿ − 1 ha un divisore primo che non divide 2^k − 1 per ogni k < n.

Analogamente, aⁿ + bⁿ ha almeno un divisore primitivo primo con l'eccezione 2³ + 1³ = 9.

Il teorema di Zsigmondy è spesso utile, specialmente nella teoria dei gruppi, per dimostrare che vari gruppi hanno ordini distinti eccetto quando sono noti essere gli stessi.^[1]

Storia

Il teorema è stato scoperto da Zsigmondy mentre lavorava a Vienna dal 1895 fino al 1925

Generalizzazioni

Sia $(a_{n})_{n\geq 1}$ una successione di interi diversi da 0. L'insieme di Zsigmondy associato alla successione è l'insieme

${\mathcal {Z}}(a_{n})=\{n\geq 1:a_{n}{\text{ non ha divisori primi primitivi }}p\}.$

L'insieme di Zsigmondy è dunque l'insieme degli indici $n$ tali che ogni numero primo che divide $a_{n}$ divide anche $a_{m}$ per qualche $m<n$ . Così il teorema di Zsigmondy implica che ${\mathcal {Z}}(a^{n}-b^{n})\subset \{1,2,6\}$ , e il teorema di Carmichael afferma che l'insieme Zsigmondy della successione di Fibonacci è $\{1,2,6,12\}$ , e quello della successione di Pell è $\{1\}$ . Nel 2001 Bilu, Hanrot, e Voutier^[2] hanno dimostrato che in generale, se $(a_{n})_{n\geq 1}$ è una successione di Lucas o una successione di Lehmer, allora ${\mathcal {Z}}(a_{n})\subseteq \{1\leq n\leq 30\}$ . Le successioni di Lucas e Lehmer sono esempi di successioni di divisibilità.

È noto anche che se $(W_{n})_{n\geq 1}$ è una successione ellittica di divisibilità, allora l'insieme di Zsigmondy ${\mathcal {Z}}(W_{n})$ è finito.^[3]Tuttavia, il risultato è inefficace, nel senso che la prova non dà un esplicito limite superiore per l'elemento più grande in ${\mathcal {Z}}(W_{n})$ , anche se è possibile dare un effettivo limite superiore per il numero di elementi in ${\mathcal {Z}}(W_{n})$ .^[4]

Numeri di Mersenne

Un caso specifico del teorema considera $r$ -esimo numero di Mersenne $M_{r}=2^{r}-1$ , dunque ogni numero $M_{2}$ , $M_{3}$ , $M_{4}$ , ... ha un numero primo nella fattorizzazione che non è presente nella fattorizzazione di un elemento precedente della successione, eccetto $M_{6}$ . Ad esempio $M_{1}$ , $M_{2}$ , $M_{3}$ , ... hanno i fattori 3, 7, 5, 31, (1), 127, 17, 73, 11, 23(89) , ... che non si presentano prima di $M_{n}$ . Questi fattori, talvolta, vengono chiamati numeri di Zsigmondy ${\mathcal {Z}}_{s}(n,2,1)$ .

Note

^ E.Artin, The orders of the linear groups, in Communications on Pure and Applied Mathematics, vol. 8, n. 3.
^ Y. Bilu, G. Hanrot, P.M. Voutier, Esistenza di divisori primitivi dei numeri di Lucas e Lehmer, J. Reine Angew. Math. 539 (2001), 75-122
^ J.H. Silverman, Wieferich's criterion and the abc-conjecture, J. Number Theory 30 (1988), 226-237
^ P. Ingram, J.H. Silverman, Uniform estimates for primitive divisors in elliptic divisibility sequences, Number theory, Analysis and 'Geometry, Springer-Verlag, 2010, 233-263.

Bibliografia

K. Zsigmondy, Zur Theorie der Potenzreste, in Journal Monatshefte für Mathematik, vol. 3, n. 1.
Th. Schmid, Karl Zsigmondy, in Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, vol. 36.
Moshe Roitman, On Zsigmondy Primes, in Proceedings of the American Mathematical Society, vol. 125, n. 7.
Walter Feit, On Large Zsigmondy Primes, in Proceedings of the American Mathematical Society, vol. 102, n. 1.
Graham Everest, Alf van der Poorten, Igor Shparlinski, Thomas Ward, Recurrence sequences, Providence, RI, American Mathematical Society, 2003, pp. 103–104, ISBN 0-8218-3387-1.
Ribenboim, P, The Little Book of Big Primes, New York, Springer-Verlag, 1991, p. 27.