Trasformazione di Helmert

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Informazioni teoriche

Per rototraslazione e variazione di scala nel piano intendiamo un cambiamento di coordinate cartesiane da un sistema di riferimento ad un altro con alterazione delle unità di misura e quindi di scala. Tutto ciò è possibile grazie ad una trasformazione lineare composta da una traslazione e da una rotazione, accompagnate da un fattore di riduzione o ingrandimento. Questo problema prende il nome di trasformazione di Helmert a sette parametri, ed è individuato dall'espressione:

${\displaystyle {\vec {X}}'=\lambda R{\vec {X}}+{\vec {T}}}$

dove i parametri da determinare sono tre per la rotazione, tre per la traslazione ed uno per le unità di misura.

In particolare: R è la matrice di rotazione rispetto ai tre assi (matrice 3x3), ${\displaystyle {\vec {T}}}$ è il vettore di traslazione (3 componenti) e ${\displaystyle \lambda }$ è il fattore di scala, mentre ${\displaystyle {\vec {X}}}$ e ${\displaystyle {\vec {X}}'}$ rappresentano rispettivamente le coordinate dei punti prima e dopo la trasformazione.

Per comodità consideriamo uno spazio di lavoro bidimensionale, quindi la matrice R sarà una 2x2 e dipenderà da un solo parametro, 𝛼, che individua l’angolo di rotazione e ${\displaystyle {\vec {T}}}$ diventerà un vettore a due componenti (${\displaystyle T_{x}}$ e ${\displaystyle T_{y}}$). ${\displaystyle R}$ è della forma:

${\displaystyle R(\alpha )={\begin{pmatrix}cos(\alpha )&-sin(\alpha )\\sin(\alpha )&cos(\alpha )\end{pmatrix}}}$

A questo punto si vuole stimare i valori dei parametri ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \lambda }$, ${\displaystyle T_{x}}$, ${\displaystyle T_{y}}$ che governano la trasformazione tramite il metodo dei minimi quadrati. Prima è però necessario svolgere un processo di linearizzazione del sistema rispetto ai parametri ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle \lambda }$, ponendo ${\displaystyle a=\lambda \cos \alpha }$, ${\displaystyle b=\lambda \sin \alpha }$ e ${\displaystyle {\frac {b}{a}}=\tan \alpha }$. Si ottiene:

${\displaystyle \lambda R(\alpha )={\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}}$

Dunque, conoscendo le coordinate ${\displaystyle {\vec {X}}}$ e ${\displaystyle {\vec {X}}'}$ di un certo numero di punti (più sono minore sarà l’errore) e utilizzando queste supposizioni/semplificazioni:

• le coordinate ${\displaystyle {\vec {X}}}$ note senza errori;
• le coordinate ${\displaystyle {\vec {X}}'}$ incorrelate e con medesima varianza;
• utilizzo delle coordinate baricentriche;

la trasformazione diventa:

${\displaystyle {\vec {X}}'={\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}{\vec {X}}+{\vec {T}}}$

Calcolo delle coordinate baricentriche

In prima battuta si calcolano le coordinate del baricentro dei punti nei due sistemi di riferimento:

${\displaystyle {\vec {X}}_{B}={\frac {1}{N}}\sum {\vec {x}}_{p}}$ ${\displaystyle {\vec {X}}_{B}'={\frac {1}{N}}\sum {\vec {x}}_{p}'}$

Successivamente si calcolano le coordinate baricentriche di tutti gli N punti relativamente al loro baricentro:

${\displaystyle {\vec {W}}_{p}={\vec {X}}p-{\vec {X}}_{B}}$ ${\displaystyle {\vec {W}}_{p}'={\vec {X}}p'-{\vec {X}}_{B}'}$

Nuova forma per le trasformazione di Helmert

È possibile ora modificare la prima equazione mediante l’utilizzo delle coordinate baricentriche:

${\displaystyle {\vec {X}}_{p}'=\lambda R{\vec {X}}_{p}+{\vec {T}}\longrightarrow {\vec {W}}_{p}'=\lambda R(\alpha ){\vec {W}}_{p}-{\vec {X}}_{B}'+{\vec {T}}+\lambda R(\alpha ){\vec {X}}_{B}}$

la quale, ponendo ${\displaystyle {\vec {T}}_{0}=-{\vec {X}}_{B}'+{\vec {T}}+\lambda R(\alpha ){\vec {X}}_{B}}$ risulta:

${\displaystyle {\vec {W}}_{p}'=\lambda R(\alpha ){\vec {W}}_{p}+{\vec {T}}_{0}}$

A questo punto il problema può essere ricondotto ad un’equazione matriciale del tipo:

${\displaystyle {\vec {y}}=A{\vec {x}}}$

Esplicitando per ogni punto e ricordando il precedente cambio di variabile otteniamo:

${\displaystyle {\begin{cases}{\vec {W}}_{px}'={\vec {W}}_{px}a-{\vec {W}}_{py}b+{\vec {T}}_{0x}\\{\vec {W}}_{py}'={\vec {W}}_{py}a+{\vec {W}}_{px}b+{\vec {T}}_{0y}\end{cases}}}$

ovvero:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\vec {W}}_{1x}'\\{\vec {W}}_{1y}'\\...\\{\vec {W}}_{px}'\\{\vec {W}}_{py}'\\...\\{\vec {W}}_{Nx}'\\{\vec {W}}_{Ny}'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\vec {W}}_{1x}&-{\vec {W}}_{1y}&1&0\\{\vec {W}}_{1y}&{\vec {W}}_{1x}&0&1\\...\\{\vec {W}}_{px}&-{\vec {W}}_{py}&1&0\\{\vec {W}}_{py}&{\vec {W}}_{px}&0&1\\...\\{\vec {W}}_{Nx}&-{\vec {W}}_{Ny}&1&0\\{\vec {W}}_{1y}&{\vec {W}}_{1x}&0&1\end{pmatrix}}}$${\displaystyle *{\begin{pmatrix}a\\b\\{\vec {T}}_{0x}\\{\vec {T}}_{0y}\end{pmatrix}}}$

dove ${\displaystyle {\vec {y}}}$ rappresenta il vettore contenente i termini noti, ${\displaystyle A}$ la matrice dei coefficienti e ${\displaystyle {\vec {x}}}$ il vettore dei parametri da stimare.

Stima dei parametri

Per la risoluzione del sistema è conveniente normalizzarlo, moltiplicando ambo i membri per la trasposta di ${\displaystyle A}$ (${\displaystyle A^{T}}$) :

${\displaystyle A^{T}A{\vec {x}}=A^{T}{\vec {y}}}$

Allora, definendo con ${\displaystyle N=A^{T}A}$ la matrice normale, i prodotti ${\displaystyle A^{T}A}$ e ${\displaystyle A^{T}{\vec {y}}}$ risultano essere:

${\displaystyle N=A^{T}A={\begin{pmatrix}d&0&0&0\\0&d&0&0\\0&0&N&0\\0&0&0&N\\\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle A^{T}{\vec {y}}={\begin{pmatrix}p\\q\\0\\0\\\end{pmatrix}}}$

con :

${\displaystyle d=\sum _{p=1}^{N}(W_{px}^{2}+W_{py}^{2})}$

${\displaystyle p=\sum _{p=1}^{N}(W_{px}W_{px}'+W_{py}W_{py}')}$

${\displaystyle p=\sum _{p=1}^{N}(W_{py}W_{px}'-W_{px}W_{py}')}$

La matrice normale è diagonale in quanto le coordinate baricentriche hanno media nulla; le componenti ${\displaystyle {\vec {T}}_{0x}}$ e ${\displaystyle {\vec {T}}_{0y}}$ sono pari a zero per il medesimo motivo.

Per la stima dei parametri non ci resta che determinare il sistema. Si ottengono le seguenti relazioni:

${\displaystyle {\hat {a}}={\frac {p}{q}}}$ ${\displaystyle {\hat {b}}={\frac {q}{d}}}$ ${\displaystyle {\vec {T}}_{0x}=0}$ ${\displaystyle {\vec {T}}_{0x}=0}$

Grazie a queste è possibile stimare i parametri ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle \lambda }$ :

${\displaystyle {\hat {\lambda }}={\sqrt {{\hat {a}}^{2}+{\hat {b}}^{2}}}}$ ${\displaystyle {\hat {\alpha }}=\arctan {\frac {\hat {a}}{\hat {b}}}}$

mentre una stima del vettore traslazione è ${\displaystyle {\vec {T}}={\vec {X}}_{B}'-{\lambda }R{\vec {X}}_{B}}$

Calcolo degli scarti e delle varianza

Definiamo gli scarti come differenza tra il valore reale e quello stimato:

${\displaystyle {\vec {\nu }}={\vec {y}}-A{\vec {\hat {x}}}}$

Per calcolare la varianza a posteriori si usa la formula:

${\displaystyle {\hat {\sigma _{0}^{2}}}={\frac {\nu ^{T}\nu }{r}}}$

con r = (numero di misure) - (numero parametri).