エルミート多様体

数学における エルミート多様体（英語: Hermitian manifold）とはリーマン多様体の複素微分幾何における類似である。より正確には、エルミート多様体とは、各点の正則接空間にエルミート内積を持ち、それらが滑らかに変化する複素多様体のことを指す。また、エルミート多様体を複素構造を保つリーマン計量を持つ実多様体として定義することもできる。

複素構造は、本質的には可積分条件をもつ概複素構造であり、この条件は多様体上にユニタリ構造（U(n)-構造（英語版）(U(n) structure))をもたらす。可積分条件を落とすと、概エルミート多様体を得る。

任意の概エルミート多様体上に、計量と概複素構造にのみ依存する基本2形式(fundamental 2-form)と呼ばれる微分形式を定めることができる。基本2形式は常に非退化である。これが閉形式である（すなわちシンプレクティック形式である）という追加の可積分条件を課すことにより、概ケーラー構造(almost Kähler structure)を得る。もし概複素構造と基本2形式の両方が可積分であれば、 ケーラー構造を持つ。

形式的定義

滑らかな多様体(smooth manifold) ${\displaystyle M}$ 上の複素ベクトル束 ${\displaystyle E}$ におけるエルミート計量(Hermitian metric)とは、各々のファイバー上で滑らかに変化する正定値エルミート形式である。そのような計量は滑らかな切断

${\displaystyle h\in \Gamma (E\otimes {\bar {E}})^{*}}$

であって、${\displaystyle E_{p}}$ の任意の元 ${\displaystyle \zeta ,\eta }$ に対し

${\displaystyle h_{p}(\eta ,{\bar {\zeta }})={\overline {h_{p}(\zeta ,{\bar {\eta }})}}}$

であり、${\displaystyle E_{p}}$ の任意の 0 でない元 ${\displaystyle \zeta }$ に対し

${\displaystyle h_{p}(\zeta ,{\bar {\zeta }})>0}$

を満たすような切断として表すことができる。

エルミート多様体(Hermitian manifold)は、その正則接空間（英語版）(holomorphic tangent space)上にエルミート計量を持つ複素多様体である。同様に、概エルミート多様体(almost Hermitian manifold)は、その正則接空間上にエルミート計量を持つ概複素多様体である。

エルミート多様体上では、計量は正則局所座標 ${\displaystyle (z^{\alpha })}$ を用いて

${\displaystyle h=h_{\alpha {\bar {\beta }}}\,dz^{\alpha }\otimes d{\bar {z}}^{\beta }}$

と表わされる。ここに ${\displaystyle h_{\alpha {\bar {\beta }}}}$ は正定値エルミート行列の成分である。

リーマン計量と随伴形式

（概）複素多様体 ${\displaystyle M}$ 上のエルミート計量 ${\displaystyle h}$ は、基礎多様体上にリーマン計量 ${\displaystyle g}$ を定義する。計量 ${\displaystyle g}$ は ${\displaystyle h}$ の実部

${\displaystyle g={1 \over 2}(h+{\bar {h}})}$

で定義される。

形式 ${\displaystyle g}$ は複素化された（英語版）(complexified)接バンドル ${\displaystyle TM^{\mathbf {C} }}$ 上の対称双線型形式である。${\displaystyle g}$ は自身の共役と等しいので、${\displaystyle TM}$ 上の実形式の複素化となる。${\displaystyle TM}$ 上での ${\displaystyle g}$ の対称性と正定値性は、対応する ${\displaystyle h}$ の性質から従う。局所正則座標では、計量 ${\displaystyle g}$ は

${\displaystyle g={1 \over 2}h_{\alpha {\bar {\beta }}}\,(dz^{\alpha }\otimes d{\bar {z}}^{\beta }+d{\bar {z}}^{\beta }\otimes dz^{\alpha })}$

と表わすことができる。

${\displaystyle h}$ には次数 (1,1) の複素微分形式 ${\displaystyle \omega }$ を付随させることもできる。形式 ${\displaystyle \omega }$ は ${\displaystyle h}$ の虚部のマイナス1倍

${\displaystyle \omega ={i \over 2}(h-{\bar {h}})}$

として定義される。再び、${\displaystyle \omega }$ はその共役と等しいので、これは ${\displaystyle TM}$ 上の実形式の複素化である。形式 ${\displaystyle \omega }$ は、随伴 (1,1)-形式(associated (1,1) form)、基本形式(fundamental form)、あるいはエルミート形式(Hermitian form)と様々な呼ばれ方をする。局所正則座標では、${\displaystyle \omega }$ は

${\displaystyle \omega ={i \over 2}h_{\alpha {\bar {\beta }}}\,dz^{\alpha }\wedge d{\bar {z}}^{\beta }}$

と表わされる。

座標表現から明らかなように、3つの形式 ${\displaystyle h}$、${\displaystyle g}$、${\displaystyle \omega }$ のうち1つが与えられれば、他の2つも一意に定まる。リーマン計量 ${\displaystyle g}$ と付随する形式 ${\displaystyle \omega }$ とは概複素構造 ${\displaystyle J}$ により次のように関係している: すべての複素接ベクトル ${\displaystyle u}$ と ${\displaystyle v}$ に対し、

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega (u,v)&=g(Ju,v),\\g(u,v)&=\omega (u,Jv).\end{aligned}}}$

エルミート計量 ${\displaystyle h}$ は ${\displaystyle g}$ と ${\displaystyle \omega }$ から等式

${\displaystyle h=g-i\omega }$

によって復元できる。3つの形式 ${\displaystyle h}$、${\displaystyle g}$、${\displaystyle \omega }$ は概複素構造 ${\displaystyle J}$ を保つ。すなわち、すべての複素接ベクトル ${\displaystyle u}$ と ${\displaystyle v}$ に対し、

${\displaystyle {\begin{aligned}h(Ju,Jv)&=h(u,v)\\g(Ju,Jv)&=g(u,v)\\\omega (Ju,Jv)&=\omega (u,v)\end{aligned}}}$

である。

従って、（概）複素多様体 ${\displaystyle M}$ 上のエルミート構造は、

1. 上記のエルミート計量 ${\displaystyle h}$
2. 概複素構造 ${\displaystyle J}$ を保つリーマン計量 ${\displaystyle g}$
3. ${\displaystyle J}$ を保つ非退化 2-形式 ${\displaystyle \omega }$ ですべての 0 でない実接ベクトル ${\displaystyle u}$ に対し ${\displaystyle \omega (u,Ju)>0}$ の意味で正定値

のいずれかで特定することができる。

多くの著者が ${\displaystyle g}$ 自身をエルミート計量と呼んでいることに注意する。

性質

すべての（概）複素多様体にはエルミート計量が入る。このことはリーマン計量についての同様の命題から直ちに従う。概複素多様体 ${\displaystyle M}$ 上の任意のリーマン計量 ${\displaystyle g}$ が与えられると、明らかに概複素構造 ${\displaystyle J}$ と整合するような新しい計量 ${\displaystyle g'}$ を、次のように構成することができる:

${\displaystyle g'(u,v)={\frac {1}{2}}\left(g(u,v)+g(Ju,Jv)\right).}$

概複素多様体 ${\displaystyle M}$ 上のエルミート計量を選ぶことは、${\displaystyle M}$ 上のU(n)-構造（英語版）(U(n)-structure)を選ぶことと同値である。つまり、${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$ からユニタリ群 ${\displaystyle U(n)}$ への ${\displaystyle M}$ の枠束(frame bundle)の構造群の縮小(reduction of the structure group)である。概エルミート多様体上のユニタリ枠(unitary frame)は、エルミート計量に関して正規直交系をなす複素線型枠である。M のユニタリ枠束（英語版）(unitary frame bundle)は、すべてのユニタリ枠の主 U(n)-バンドルである。

すべてのエルミート多様体 ${\displaystyle M}$ は、${\displaystyle g}$ により決定されるリーマン体積形式である標準体積形式を持つ。この形式は、随伴 (1,1)-形式 ${\displaystyle \omega }$ によって

${\displaystyle \mathrm {vol} _{M}={\frac {\omega ^{n}}{n!}}\in \Omega ^{n,n}(M)}$

として与えられる。ここに ${\displaystyle \omega ^{n}}$ は ${\displaystyle \omega }$ と自身との ${\displaystyle n}$ 重のウェッジ積である。従って、体積形式は ${\displaystyle M}$ 上の実 ${\displaystyle (n,n)}$-形式である。局所正則座標では、体積形式は

${\displaystyle \mathrm {vol} _{M}=\left({\frac {i}{2}}\right)^{n}\det(h_{\alpha {\bar {\beta }}})\,dz^{1}\wedge d{\bar {z}}^{1}\wedge \cdots \wedge dz^{n}\wedge d{\bar {z}}^{n}}$

により与えられる。

エルミート計量は、正則ベクトルバンドル上でも考えることができる。

ケーラー多様体

エルミート多様体の最も重要なクラスは、ケーラー多様体である。ケーラー多様体は、エルミート形式 ${\displaystyle \omega }$ が閉形式

${\displaystyle d\omega =0}$

となるエルミート多様体である。この場合、形式 ${\displaystyle \omega }$ をケーラー形式と呼ぶ。ケーラー形式はシンプレクティック形式なので、ケーラー多様体は自然にシンプレクティック多様体となる。

随伴する (1,1)-形式が閉である概エルミート多様体は、自然に概ケーラー多様体と呼ぶ。任意のシンプレクティック多様体には、概ケーラー多様体をなすような整合的な概複素構造が入る。

可積分性

ケーラー多様体は可積分条件を満たす概エルミート多様体である。この条件はいくつかの同値な方法で述べることができる。

${\displaystyle (M,g,\omega ,J)}$ を実 ${\displaystyle 2n}$ 次元の概エルミート多様体とし、${\displaystyle \nabla }$ を ${\displaystyle g}$ のレヴィ・チヴィタ接続とすると、以下は ${\displaystyle M}$ がケーラーとなる同値な条件である。

• ${\displaystyle \omega }$ が閉で、${\displaystyle J}$ が可積分である
• ${\displaystyle \nabla J=0}$
• ${\displaystyle \nabla \omega =0}$
• ${\displaystyle \nabla }$ のホロノミー群（英語版）(holonomy group)が ${\displaystyle J}$ に関するユニタリ群 ${\displaystyle U(n)}$ に含まれる

これらの条件の同値性は、ユニタリ群の「3 から 2(2 out of 3)」の性質に対応する。

特に、${\displaystyle M}$ がエルミート多様体であれば、条件 ${\displaystyle d\omega =0}$ が一見、非常に強く見える条件 ${\displaystyle \nabla \omega =\nabla J=0}$ と同値である。ケーラー多様体の理論の豊かさは、これらの性質によるところもある。

参考文献

• Griffiths, Phillip; Joseph Harris (1994) [1978]. Principles of Algebraic Geometry. Wiley Classics Library. New York: Wiley-Interscience. ISBN 0-471-05059-8 
• Kobayashi, Shoshichi; Katsumi Nomizu (1996) [1963]. Foundations of Differential Geometry, Vol. 2. Wiley Classics Library. New York: Wiley Interscience. ISBN 0-471-15732-5 
• Kodaira, Kunihiko (1986). Complex Manifolds and Deformation of Complex Structures. Classics in Mathematics. New York: Springer. ISBN 3-540-22614-1