ゲーゲンバウアー多項式

数学において、ゲーゲンバウアー多項式（ケーゲンバウアーたこうしき、英: Gegenbauer polynomials）または超球多項式 (ultraspherical polynomials) C n ( α ) ( x ) {\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(x)} とは、レオポルド・ベルンハルト・ゲーゲンバウアー（英語版） (1849–1903) にちなんで命名された、区間 [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]} 上で定義される重み関数 ( 1 − x 2 ) α − 1 / 2 {\displaystyle (1-x^{2})^{\alpha -1/2}} の直交多項式をいう。ゲーゲンバウアー多項式は、ルジャンドル多項式及びチェビシェフ多項式の一般事例であり、ヤコビ多項式（英語版）の特殊事例である。

性質

  • α =1 の場合のゲーゲンバウアー多項式
    α =1 の場合のゲーゲンバウアー多項式
  • α =2 の場合のゲーゲンバウアー多項式
    α =2 の場合のゲーゲンバウアー多項式
  • α =3 の場合のゲーゲンバウアー多項式
    α =3 の場合のゲーゲンバウアー多項式
1 ( 1 − 2 x t + t 2 ) α = ∑ n = 0 ∞ C n ( α ) ( x ) t n 1 − x t ( 1 − 2 x t + t 2 ) α + 1 = ∑ n = 0 ∞ n + 2 α 2 α C n ( α ) ( x ) t n {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{(1-2xt+t^{2})^{\alpha }}}&=\sum _{n=0}^{\infty }C_{n}^{(\alpha )}(x)t^{n}\\{\frac {1-xt}{(1-2xt+t^{2})^{\alpha +1}}}&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n+2\alpha }{2\alpha }}C_{n}^{(\alpha )}(x)t^{n}\end{aligned}}}
C 0 ( α ) ( x ) = 1 C 1 ( α ) ( x ) = 2 α x C n ( α ) ( x ) = 1 n [ 2 x ( n + α − 1 ) C n − 1 ( α ) ( x ) − ( n + 2 α − 2 ) C n − 2 ( α ) ( x ) ] {\displaystyle {\begin{aligned}C_{0}^{(\alpha )}(x)&=1\\C_{1}^{(\alpha )}(x)&=2\alpha x\\C_{n}^{(\alpha )}(x)&={\frac {1}{n}}\left[2x(n+\alpha -1)C_{n-1}^{(\alpha )}(x)-(n+2\alpha -2)C_{n-2}^{(\alpha )}(x)\right]\end{aligned}}}
( 1 − x 2 ) y ″ − ( 2 α + 1 ) x y ′ + n ( n + 2 α ) y = 0 {\displaystyle (1-x^{2})y''-(2\alpha +1)xy'+n(n+2\alpha )y=0}
C n ( α ) ( x ) = ( − 2 ) n n ! Γ ( n + α ) Γ ( n + 2 α ) Γ ( α ) Γ ( 2 n + 2 α ) ( 1 − x 2 ) − α + 1 / 2 d n d x n [ ( 1 − x 2 ) n + α − 1 / 2 ] {\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {(-2)^{n}}{n!}}{\frac {\Gamma (n+\alpha )\Gamma (n+2\alpha )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (2n+2\alpha )}}(1-x^{2})^{-\alpha +1/2}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left[(1-x^{2})^{n+\alpha -1/2}\right]}
  • 次の直交関係を満たす：
∫ − 1 1 C n ( α ) ( x ) C m ( α ) ( x ) ( 1 − x 2 ) α − 1 2 d x = π 2 1 − 2 α Γ ( n + 2 α ) n ! ( n + α ) [ Γ ( α ) ] 2 δ n m {\displaystyle \int _{-1}^{1}C_{n}^{(\alpha )}(x)C_{m}^{(\alpha )}(x)(1-x^{2})^{\alpha -{\frac {1}{2}}}\,dx={\frac {\pi 2^{1-2\alpha }\Gamma (n+2\alpha )}{n!(n+\alpha )[\Gamma (\alpha )]^{2}}}\delta _{nm}}
  • ある角度の余弦を引数とする関数値について、次式が成り立つ：
C n ( α ) ( cos ⁡ θ ) = ∑ r = 0 ∞ Γ ( α + r ) Γ ( n + α − r ) r ! ( n − r ) ! [ Γ ( α ) ] 2 cos ⁡ ( 2 r − n ) θ {\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(\cos \theta )=\sum _{r=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (\alpha +r)\Gamma (n+\alpha -r)}{r!(n-r)![\Gamma (\alpha )]^{2}}}\cos(2r-n)\theta }
  • α = 1 / 2 {\displaystyle \alpha =1/2} の場合がルジャンドル多項式に、 α = 1 {\displaystyle \alpha =1} の場合が第二種チェビシェフ多項式に相当する。

参考文献

関連項目