シュピーカー点

幾何学において, シュピーカー点（シュピーカーてん、英:Spieker center,Spieker point[1]）またはシュピーカー中心、シュピーカー心は、三角形の中心の一つである。 三角形の周長の重心として定義される[2][3]。 19世紀のドイツの数学者テオドール・シュピーカー（ドイツ語版、英語版）にちなんで名づけられた[4]。クラーク・キンバリング（英語版）の「Encyclopedia of Triangle Centers」ではX(10)として登録されている 。

位置

シュピーカー点の作図,三角形DEFは三角形ABCの中点三角形,Sは三角形DEFの内心

シュピーカー点は中点三角形の内心である。

つまりシュピーカー点は △ABC の中点三角形の内接円の中心である。この円はシュピーカー円と呼ばれている。

またシュピーカー点は、中分線（英語版）（中点を通り周長を二等分する直線)の交点である。

性質

黒い破線は三角形ABCの角の二等分線,青い線は中分線,赤い線はシュピーカー円

△ABCのシュピーカー点をSとする。

b c ( b + c ) : c a ( c + a ) : a b ( a + b ) . {\displaystyle bc(b+c):ca(c+a):ab(a+b).} [5]
b + c : c + a : a + b . {\displaystyle b+c:c+a:a+b.}
  • S は3つの傍接円の根心 である[6]。
  • S は△ABCの中分線の交点である。
  • S は△ABCのナーゲル線上にある。また、内心I,重心G,ナーゲル点Nについて 3 I G → = 2 I S → = I N → {\displaystyle 3{\overrightarrow {\mathrm {IG} }}=2{\overrightarrow {\mathrm {IS} }}={\overrightarrow {\mathrm {IN} }}} が成り立つ[7]。
  • S はキーペルト双曲線上にある[8]。つまり角XBC,XCB,YCA,YAC,ZAB,ZBAが以下の式で表される△XBC, △YCA, △ZABを内側に描いたとき、AX, BY, CZの交点である。
θ = tan − 1 ⁡ [ tan ⁡ ( A 2 ) tan ⁡ ( B 2 ) tan ⁡ ( C 2 ) ] . {\displaystyle \theta =\tan ^{-1}\left[\tan \left({\frac {A}{2}}\right)\tan \left({\frac {B}{2}}\right)\tan \left({\frac {C}{2}}\right)\right].}

出典

  1. ^ Boris Odehnal. “Some Triangle Centers Associated with the Circles Tangent to the Excircle”. Forum Geometricorum. 2024年5月3日閲覧。
  2. ^ Honsberger, Ross (1995). Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Mathematical Association of America. pp. 3–4 
  3. ^ Kimberling. “Spieker center”. 2012年5月5日閲覧。
  4. ^ Spieker, Theodor (1888). Lehrbuch der ebenen Geometrie. Potsdam, Germany 
  5. ^ Kimberling. “Encyclopedia of Triangle Centers”. 2012年5月5日閲覧。
  6. ^ Odenhal, Boris (2010), “Some triangle centers associated with the circles tangent to the excircles”, Forum Geometricorum 10: 35–40, http://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201006.pdf 
  7. ^ Bogomolny. “Nagel Line from Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles”. 2012年5月5日閲覧。
  8. ^ “キーペルト双曲線”. Weisstein, Eric W. 2024年3月9日閲覧。