ニーベンの定理

ニーベンの定理（ニーベンのていり、英: Niven's theorem）は数学において度数法で0°≤θ≤90°の範囲で、θとsinθがともに有理数となるのは0°,30°,90°のみであるという定理である。イヴァン・ニーベンに因んで名付けられた^[1]。式で表せば、θとその正弦が有理数となるのは以下の場合のみである。

{\begin{aligned}\sin 0^{\circ }&=0,\\[10pt]\sin 30^{\circ }&={\frac {1}{2}},\\[10pt]\sin 90^{\circ }&=1.\end{aligned}}

弧度法で表すと、0≤x≤π/2の範囲でx/πが有理数であるとき、sinxが有理数となるときはsin0=0, sinπ/6=1/2,sinπ/2=1である場合のみである。

この定理はニーベンの書籍のIrrational numbersの項の系3.12に書かれている^[2]。

一般角に拡張して書くこともできる^[2]。有理数θにおいて、θの正弦または余弦は0,±1/2,±1で唯一有理数を取る。また、正割または余割では±1,±2で唯一有理数値を取る。正接または余接では0,±1で唯一有理数値を取る^[3]。

歴史

ニーベンの証明は彼の書籍「Irrational Numbers」に示されている。しかしニーベンの証明以前に、D・H・レーマー（英語版）とJ. M. H.Olmsteadによって証明されていた^[2]。1933年のレーマーの書籍では、レーマーは余弦においてより一般の結果を証明している。具体的には、互いに素な整数 $k,n\ (n>2)$ において、 $2\cos(2\pi k/n)$ は $\varphi (n)/2$ 次の代数的数である。ただし $\varphi$ はトーシェント関数。有理数は1次の代数的数であるから、 $\varphi (n)=2$ の場合となる。 $\varphi (n)=2$ を取るのは $n={}$ 1, 2, 3, 4, 6の場合のみであり、ニーベンの定理の主張を得る。次に彼は $\sin(\theta )=\cos(\theta -\pi /2)$ を用いて正弦に対応する結果を得た^[4]。1956年、ニーベンはレーマーの結果を他の三角関数に拡張した^[2]。他の数学者はその後、新しい証明を発表している^[3]。

出典

^ Schaumberger, Norman (1974). “A Classroom Theorem on Trigonometric Irrationalities”. Two-Year College Mathematics Journal 5 (1): 73–76. doi:10.2307/3026991. JSTOR 3026991.
^ ^a ^b ^c ^d Niven, Ivan (1956). Irrational Numbers. The Carus Mathematical Monographs. The Mathematical Association of America. p. 41. MR0080123. https://archive.org/details/irrationalnumber00nive
^ ^a ^b A proof for the cosine case appears as Lemma 12 in Bennett, Curtis D.; Glass, A. M. W.; Székely, Gábor J. (2004). “Fermat's last theorem for rational exponents”. American Mathematical Monthly 111 (4): 322–329. doi:10.2307/4145241. JSTOR 4145241. MR2057186.
^ Lehmer, Derrick H. (1933). “A note on trigonometric algebraic numbers”. The American Mathematical Monthly 40 (3): 165–166. doi:10.2307/2301023. JSTOR 2301023.

参考文献

Olmsted, J. M. H. (1945). “Rational values of trigonometric functions”. The American Mathematical Monthly 52 (9): 507–508. JSTOR 2304540.
Jahnel, Jörg. "When is the (co)sine of a rational angle equal to a rational number?". arXiv:1006.2938 [math.HO]。