ラグランジュ部分多様体

${\displaystyle \,(M,\omega )\,}$をシンプレクティック多様体であるとする。

${\displaystyle \,M\,}$の部分多様体${\displaystyle \,L\subset M\,}$が ラグランジュ部分多様体であるとは、

(1) ${\displaystyle \,\dim L={\frac {1}{2}}\dim M\,}$

(2) ${\displaystyle \,\omega |_{L}=0\,}$

を満たすことをいう。

例１

${\displaystyle M}$をn次元シンプレクティック多様体であるとする。 また、${\displaystyle \,f_{1},\cdots ,f_{n}\,}$を次を満たす${\displaystyle M}$上の 滑らかな関数たちとしよう。

(i) 互いにポアソン可換である。すなわち、シンプレクティック形式から定まる ポアソン構造に関して、${\displaystyle \,\{f_{i},f_{j}\}=0\,}$が成立する。 ポアソン構造に関しては、ポアソン多様体を見よ。

(ii) ${\displaystyle \,df_{1},\cdots ,df_{n}\,}$は${\displaystyle \,M\,}$上で一次独立である。 ${\displaystyle \,df_{i}\,}$は${\displaystyle \,f_{i}\,}$の外微分を表す。

${\displaystyle M}$から${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$への写像${\displaystyle \,F\,}$を ${\displaystyle \,F:M\to \mathbb {R} ^{n}:p\mapsto (f_{1}(p),\cdots ,f_{n}(p))\,}$ で定義する。

このとき、もし${\displaystyle \,(c_{1},\cdots ,c_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\,}$が ${\displaystyle \,F\,}$の正則値であるならば、

${\displaystyle \,F^{-1}(c_{1},\cdots ,c_{n})=\{p\in M|f_{i}(p)=c_{i},i=1,\cdots ,n\}\,}$

はラグランジュ部分多様体である。

例２

${\displaystyle \,M\,}$をｎ次元多様体とし、 ${\displaystyle \,T^{*}M\,}$でその余接バンドルを表すとする。 余接バンドルを正準２形式${\displaystyle \,\omega _{0}\,}$の入ったシンプレクティック多様体であると 思うと、${\displaystyle \,M\hookrightarrow T^{*}M\,}$はラグランジュ部分多様体である。

関連項目

• 完全可積分
• フロベニウスの定理