一般化タクシー数(いっぱんかタクシーすう、generalized taxicab number)Taxicab(k, j, n) とは、k 乗数の和 j 個で n 通りに表される最小の正の整数と定義される。k = 3 かつ j = 2 である場合は n 番目のタクシー数 Ta(n) となる。例えば
である。最後の例がシュリニヴァーサ・ラマヌジャンのタクシー数である。レオンハルト・オイラーによって以下のことが示されている。
しかし任意の整数 k ≥ 5 に対して、Taxicab(k, 2, 2) は知られていない。すなわち、2個の k (≥ 5) 乗数の和として2通りに表される正の整数は今のところ知られていない[1]。2つの4乗数の和として3通りにあらわされる数が存在するかどうかも知られていない。Zajtaは4乗数の差として3通りの方法であらわせる例
を発見した(Zajta 1983)。
例
k | j | Taxicab(k, j,1) | Taxicab(k, j,2) | Taxicab(k, j,3) | Taxicab(k, j,4) | OEIS |
2 | 2 | 2 | 50 | 325 | 1105 | A016032 |
2 | 3 | 3 | 27 | 54 | 129 | A025414 |
2 | 4 | 4 | 31 | 28 | 52 | A025416 |
3 | 2 | 2 | 1729 | 87539319 | 6963472309248 | A011541 |
3 | 3 | 3 | 251 | 5104 | 13896 | A025418 |
3 | 4 | 4 | 219 | 1225 | 1979 | A025420 |
4 | 2 | 2 | 635318657 | | | A230562 |
4 | 3 | 3 | 2673 | | | |
- Taxicab(k,2,2)はA016078をTaxicab(k,3,2)はA230563を参照。
脚注
- ^ Guy, Richard K. (2004). Unsolved problems in number theory (third edition). New York, New York, USA: Springer-Science+Business Media, Inc.. pp. 437. ISBN 0-387-20860-7. https://books.google.co.jp/books?id=1AP2CEGxTkgC&printsec=frontcover&redir_esc=y&hl=ja#v=onepage&q=&f=false
参考文献
- Walter Schneider: Taxicab numbers
- Zajta, Aurel J. (1983), “Solutions of the Diophantine equation ”, Math. Comp., doi:10.1090/S0025-5718-1983-0717709-0, MR0717709
関連項目