六次方程式

六次方程式（ろくじほうていしき、英語: sextic equation）とは、次数が6であるような代数方程式のこと。

概要

一般に一変数の六次方程式は

${\displaystyle a_{6}x^{6}+a_{5}x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0\quad (a_{6}\neq 0)}$

の形で表現される。

五次以上の一般の方程式に対する代数的解法は存在しない。すなわち、一般の五次方程式に対して代数的な根の公式は存在しない。これはルフィニ、アーベルらによって示された（アーベル–ルフィニの定理参照）。これは六次方程式にも当てはまるので、一般の六次方程式に対して代数的な根の公式は存在しない。 またガロアによって方程式が代数的に解ける条件が裏付けられている^[1]（ガロア理論参照）。

なお、代数的ではないが、楕円関数などを用いた根の公式は存在する。

解法

一部の六次方程式は、カンペドフェリエの超幾何関数（英語版）（2変数の一般化された超幾何関数）で解くことができる^[2]。

チルンハウス変換

チルンハウス変換（英語版）などにより以下の式となる^[3]。

${\displaystyle x^{6}+x^{2}+ax+b=0}$

ガロア群

6次対称群の部分群のうち，可移である15個の共役類について，交換子群の列を示す^[4][5]。この内12個が可解群である。

• S₆ 6次対称群（位数 720）${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{6}}$
• A₆ 6次交代群（位数 360） ${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{6}}$
• 正規化群 ${\displaystyle N_{{\mathfrak {S}}_{6}}(S_{3})}$
• C₆ 6次巡回群

など

6次対称群の部分群^[6]

Gf	S6	A6	H120	G72	Γ60	G48	Γ36	G36	Γ24	G24	H24	G18	Γ12	G12	C6	H6
位数	720	360	120	72	60	48	36	36	24	24	24	18	12	12	6	6

脚注

参考文献

• Coble, A. B. "The Reduction of the Sextic Equation to the Valentiner Form--Problem." Math. Ann. 70, 337-350, 1911a.
• Coble, A. B. "An Application of Moore's Cross-Ratio Group to the Solution of the Sextic Equation." Trans. Amer. Math. Soc. 12, 311-325, 1911b.
• Cole, F. N. "A Contribution to the Theory of the General Equation of the Sixth Degree." Amer. J. Math. 8, 265-286, 1886.
• Y. Mochimaru, New way for a two-parameter canonical form of sextic equations and its Solvable cases, Int. J. Pure and Applied Math., 18 (2005), 215-224.
• Mochimaru, Yoshihiro. SOLUTION OF SEXTIC EQUATIONS. International Journal of Pure and Applied Mathematics - Volume. 23 (2005), 575-583.

関連項目

• カンペドフェリエの超幾何関数（英語版） - マリー＝ジョゼフ・カンペ・ド・フェリエ（英語版）（Marie-Joseph Kampé de Fériet）により導入された。
• ヴァレンティナー群（英語版）

外部リンク

• Sextic Equation -- from Wolfram MathWorld
• Resolution of degree ≤ 6 algebraic equations by genus two theta constants