捩率

この項目では、曲線の捩率について説明しています。ベクトルバンドルの接続の捩率については「捩率テンソル」をご覧ください。

捩率（れいりつ、英: torsion）または捩れ率（ねじれりつ）とは、空間内の曲線の、平面曲線からの離れ具合を表す量である。これは平面曲線の曲率の空間版であり、空間内の曲線は曲率と捩率が与えられれば、向きを保つ合同変換を除いて一意に定まる（曲線論の基本定理）。

定義

R³上の空間曲線を、弧長パラメータsで表示したものをr(s)とする。

捩率${\displaystyle \tau }$(s)は

${\displaystyle \tau (s)=-{\boldsymbol {b}}'(s)\cdot {\boldsymbol {n}}(s)}$

で与えられる。

ここで、b(s) は従法線ベクトル

${\displaystyle {\boldsymbol {b}}(s)={\boldsymbol {r}}'(s)\times {\boldsymbol {n}}(s),}$

n(s)は主法線ベクトル

${\displaystyle {\boldsymbol {n}}(s)={\frac {{\boldsymbol {r}}''(s)}{|{\boldsymbol {r}}''(s)|}}}$

である。

' はsによる微分、${\displaystyle \times }$は外積を意味する。

参考資料

• 梅原雅顕・山田光太郎　『曲線と曲面』　裳華房、2002年、ISBN 4-7853-1531-8　

関連項目

• 曲率
• フレネ・セレの公式
• 捩率テンソル