正則測度

数学の分野における、ある位相空間上の正則測度（せいそくそくど、英: regular measure）とは、その空間内のすべての可測集合について「近似的に開」（approximately open）かつ「近似的に閉」（approximately closed）であるような測度のことを言う。

定義

(X, T) を位相空間とし、Σ を、位相 T を含む X 上のσ-代数とする（したがって、すべての開集合と閉集合は可測集合であり、Σ は少なくとも X 上のボレルσ-代数と同じくらい良質なものである）。μ を (X, Σ) 上の測度とする。X の可測部分集合 A が μ-正則であるとは、

μ ( A ) = sup { μ ( F ) | F ⊆ A , F  closed } {\displaystyle \mu (A)=\sup\{\mu (F)|F\subseteq A,F{\mbox{ closed}}\}}

および

μ ( A ) = inf { μ ( G ) | G ⊇ A , G  open } {\displaystyle \mu (A)=\inf\{\mu (G)|G\supseteq A,G{\mbox{ open}}\}}

が成り立つことを言う。あるいは、A が μ-正則集合であるための必要十分条件は、すべての δ > 0 に対して、

F ⊆ A ⊆ G {\displaystyle F\subseteq A\subseteq G}

および

μ ( G ∖ F ) < δ {\displaystyle \mu (G\setminus F)<\delta }

を満たすような閉集合 F と開集合 G が存在することを言う。

これら二つの定義は、 μ ( A ) {\displaystyle \mu (A)} が有限である場合には同値となる[1]（そうでない場合には、二つ目の定義の方が強くなる）。すべての可測集合が正則であるとき、μ は正則測度と呼ばれる。

人によっては、集合 F が（閉であるだけでなく）コンパクトであることも必要とする[2]。

例

  • 実数直線上のルベーグ測度は正則測度である：ルベーグ測度の正則性定理を見られたい。
  • 任意の距離空間上の任意のボレル確率測度は、正則測度である。
  • （すべての可測部分集合に対してゼロの値を取るような）自明測度は、正則測度である。
  • 通常位相を備える実数直線上の、正則測度でない測度 μ の自明な例には、以下のようなものがある。
    • μ ( ∅ ) = 0 {\displaystyle \mu (\emptyset )=0} ,
    • μ ( { 1 } ) = 0 {\displaystyle \mu \left(\{1\}\right)=0\,\,} , and
    • μ ( A ) = ∞ {\displaystyle \mu (A)=\infty \,\,} for any other set A {\displaystyle A} .

脚注

  1. ^ Paul Halmos (1950). Measure Theory. Springer New York. p. 228. https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4684-9440-2 
  2. ^ Dudley 1989, Sect. 7.1

参考文献

  • Billingsley, Patrick (1999). Convergence of Probability Measures. New York: John Wiley & Sons, Inc.. ISBN 0-471-19745-9 
  • Parthasarathy, K. R. (2005). Probability measures on metric spaces. AMS Chelsea Publishing, Providence, RI. p. xii+276. ISBN 0-8218-3889-X  MR2169627 (See chapter 2)
  • Dudley, R. M. (1989). Real Analysis and Probability. Chapman & Hall 
  • Halmos, Paul (1950), Measure Theory, Springer New York, p. 228, https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4684-9440-2 

関連項目